Question

【題目】探究并解決問題：

探究

倍延三角形的一條中線，我們可以發現一些有用的結論.

已知，如圖①所示，AD為△ABC的中線，延長AD到E,使AD=DE,連接BE、CE.

（1）求證：AB∥CE.

（2）請再寫出兩條不同類型的結論.

解決問題

如圖所示②，分別以△ABC的邊AB和AC為邊，向三角形的外側作兩個等腰直角三角形，AB=AD,AC=AE,∠BAD = ∠CAE=90°，點M為BC的中點，連接DE,AM,試問線段AM、DE之間存在什么關系？并說明理由.

Answer 1

【答案】探究（1）見解析；（2）見解析；解決問題：ED=2AM，AM⊥ED；證明見解析.

【解析】

探究（1）先證明四邊形BEAC是平行四邊形，即可完成；（2）根據（1）所得的平行四邊形，寫兩條性質即可；解決問題：ED=2AM，AM⊥ED.延長AM到G，使MG=AM，連BG，則ABGC是平行四邊形，再結合已知條件可以證明△DAE≌△ABG，根據全等三角形的性質可以得到DE=2AM，∠BAG=∠EDA，再延長MG交DE于H，因為∠B4G+∠DAH=90°，所以∠HDA+∠DAH=90°這樣就證明了AMLED；

解：探究（1）∵AD為△ABC的中線，

∴BD=DC

又∵AD=DE

∴四邊形ABEC是平行四邊形

∴AB∥CE

（2）∵四邊形ABEC是平行四邊形

∴BE=AC,BE∥AC，∠BAC=∠BEC等寫兩個即可.

解決問題：

ED=2AM，AM⊥ED

證明：延長AM到G，使MG=AM，連BG，則ABGC是平行四邊形，再延長M4交DE于H.

∴AC=BG，∠ABG+∠BAC=180°

又∵∠DAE+∠BAC=180°，

∴∠ABG=∠DAE.

∴△DAE≌△ABG

∴DE=2AM，∠BAG=∠EDA.

延長MA交DE于H，

∵∠BAG+∠DAH=90°，

∴∠HDA+∠DAH=90°.

AM⊥ED.