Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AO是△ABC的角平分線．以O為圓心，OC為半徑作⊙O．

（1）求證：AB是⊙O的切線．

（2）已知AO交⊙O于點E，延長AO交⊙O于點D，tanD=，求的值．

（3）（3分）在（2）的條件下，設⊙O的半徑為3，求AB的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）

【解析】試題分析：（1）過O作OF⊥AB于F，由角平分線上的點到角兩邊的距離相等即可得證；（2）連接CE，證明△ACE∽△ADC可得= tanD＝；（3）先由勾股定理求得AE的長，再證明△B0F∽△BAC，得，設BO="y" ，BF=z，列二元一次方程組即可解決問題．

試題解析：（1）證明：作OF⊥AB于F

∵AO是∠BAC的角平分線，∠ACB=90

∴OC=OF

∴AB是⊙O的切線

（2）連接CE

∵AO是∠BAC的角平分線，

∴∠CAE=∠CAD

∵∠ACE所對的弧與∠CDE所對的弧是同弧

∴∠ACE=∠CDE

∴△ACE∽△ADC

∴= tanD＝

（3）先在△ACO中，設AE=x,

由勾股定理得

(x＋3)="(2x)" ＋3 ，解得x="2,"

∵∠BFO=90°=∠ACO

易證Rt△B0F∽Rt△BAC

得，

設BO=y BF=z

即4z=9＋3y，4y=12＋3z

解得z=y=

∴AB=＋4=