Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，點D、E分別在AC、BC上，且CDBC=ACCE，以E為圓心，DE長為半徑作圓，⊙E經過點B，與AB、BC分別交于點F、G．
（1）求證：AC是⊙E的切線．
（2）若AF=4，CG=5，求⊙E的半徑；
（3）若Rt△ABC的內切圓圓心為I，則IE= ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵CDBC=ACCE，

∴ ，

∵∠DCE=∠ACB，

∴△CDE∽△CAB，

∴∠EDC=∠A=90°，

∴ED⊥AC，

∵點D在⊙E上，

∴AC是⊙E的切線

（2）①如圖1，

過E作EH⊥AB于H，

∴BH=FH，

∵∠A=∠AHE=∠ADE=90°，

∴四邊形AHED是矩形，

∴ED=AH，ED∥AB，

∴∠B=∠DEC，

設⊙E的半徑為r，則EB=ED=EG=r，

∴BH=FH=AH﹣AF=DE﹣AF=r﹣4，

EC=EG+CG=r+5，

在△BHE和△EDC中，

∵∠B=∠DEC，∠BHE=∠EDC=90°，

∴△BHE∽△EDC，

∴ ，即 ，

∴r=20，

∴⊙E的半徑為20

（3）
【解析】如圖2
過I作IM⊥BC于M，過I作IH⊥AB于H，
由（2）得：FH=BH=r﹣4=20﹣4=16，AB=AF+2BH=4+2×16=36，
BC=2r+5=2×20+5=45，
∴AC= =27，
∵I是Rt△ABC的內心，
∴IM= = =9，
∴AH=IM=9，
∴BH=BM=36﹣9=27，
∴EM=27﹣20=7，
在Rt△IME中，由勾股定理得：IE= = = ，
所以答案是： ．
【考點精析】本題主要考查了等腰直角三角形和三角形的內切圓與內心的相關知識點，需要掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；三角形的內切圓的圓心是三角形的三條內角平分線的交點，它叫做三角形的內心才能正確解答此題．