Question

【題目】如圖，拋物線C1的圖象與x軸交A(﹣3，0)，B(1，0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0，3)點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)．

（1）求拋物線C1的解析式；

（2）將拋物線C1關(guān)于直線x＝1對(duì)稱后的拋物線記為C2，將拋物線C1關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱后的拋物線記為C3，點(diǎn)E為拋物線C3的頂點(diǎn)，在拋物線C2的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)F，使得△BEF為等腰三角形？若存在請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）存在，當(dāng)點(diǎn)F為(3，﹣4+2)或(3，﹣4﹣2)或(3，4)或(3，﹣)時(shí)，使得△BEF為等腰三角形

【解析】

（1）將A、B、C三點(diǎn)代入一般式，即可求出解析式；

（2）由折疊的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求拋物線C2解析式和拋物線C3解析式，可得點(diǎn)E坐標(biāo)，由等腰三角形的性質(zhì)可求點(diǎn)F坐標(biāo)．

解：（1）設(shè)解析式y＝a（x﹣1）（x+3）

將C（0，3）代入得 a＝﹣1

∴拋物線C1的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3；

（2）∵拋物線C1的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3；

∴拋物線C1的頂點(diǎn)為（﹣1，4）

∵將拋物線C1關(guān)于直線x＝1對(duì)稱后的拋物線記為C2，將拋物線C1關(guān)于點(diǎn)B對(duì)稱后的拋物線記為C3，

∴拋物線C2解析式為：y＝﹣（x﹣3）2+4，拋物線C3解析式為：y＝（x﹣3）2﹣4，

∵點(diǎn)E為拋物線C3的頂點(diǎn)，

∴點(diǎn)E（3，﹣4），

∴BE= ，

∵點(diǎn)F拋物線C2的對(duì)稱軸上，

∴點(diǎn)F橫坐標(biāo)為3，

若BE＝EF＝2，則點(diǎn)F坐標(biāo)為（3，﹣4+2）或（3，﹣4﹣2），

若BE＝BF時(shí)，則點(diǎn)F與點(diǎn)E關(guān)于x軸對(duì)稱，

∴點(diǎn)F（3，4），

若BF＝EF時(shí)，則22+（4﹣EF）2＝BF2，

∴BF＝EF＝，

∴點(diǎn)F（3，﹣），

綜上所述：當(dāng)點(diǎn)F為（3，﹣4+2）或（3，﹣4﹣2）或（3，4）或（3，﹣）時(shí)，使得△BEF為等腰三角形