Question

【題目】如圖，ABCD中，DF平分∠ADC交AC于點H，G為DH的中點．

（1）如圖①，若M為AD的中點，AB⊥AC，AC＝9，CF＝8，CG＝2，求GM；

（2）如圖②，M為線段AB上一點，連接MF，滿足∠MCD＝∠BCG，∠MFB＝∠BAC．求證：MC＝2CG．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析．

【解析】

（1）先根據平行四邊形的性質和平行線的性質得出∠BAC＝∠ACD＝90，進而得出HD＝，然后根據角平分線的性質和等腰三角形的性質得出CD＝CF=8，然后由勾股定理求出CH的長度，從而求出AH的長度，最后利用三角形中位線的性質即可得出MG的長度；

（2）過點D作DN∥AC，交CG的延長線于點N，首先利用AAS證明△CGH≌△NGD得出GC＝GN，從而有CN＝2CG，然后通過平行四邊形的性質和平行線的性質得出∠MFC＝∠NDC，∠FCM＝∠DCN，再加上CF＝CD利用ASA即可證△MFC≌△NDC，從而得出CM＝CN，即可證明CM＝2CG．

（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

,

∵AB⊥AC，

∴∠BAC＝∠ACD＝90°，

∵G為DH的中點，

∴CG＝HG＝GD，

∵CG＝ ，

∴HD＝，

∵DF平分∠ADC，

∴∠DFC＝∠ADF＝∠CDF，

∴CF＝CD，

∵CF＝8，

∴CD＝8，

在Rt△HCD中，HC＝,

∵AC＝9，

∴AH＝5，

∵M為AD的中點，G為DH的中點，

∴MG＝AH＝ ；

（2）如圖②，過點D作DN∥AC，交CG的延長線于點N，

∵DN∥AC，

∴∠N＝∠ACN，∠DAC＝∠ADN，

∵G為DH的中點，

∴DG＝HG，且∠N＝∠ACG，∠CGH＝∠DGN，

∴△CGH≌△NGD（AAS）

∴GC＝GN，

∴CN＝2CG，

∵∠MCD＝∠BCG，

∴∠FCM＝∠DCN，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠B＝∠ADC，AD∥BC，

∴∠DAC＝∠ACB＝∠ADN，

∵∠MFB＝∠BAC，∠B＝∠B，且∠BMF＝180°﹣∠B﹣∠BFM，∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC，

∴∠BMF＝∠ACB，

∴∠BMF＝∠ADN，

∴∠BMF+∠B＝∠ADN+∠ADC，

∴∠MFC＝∠NDC，且CF＝CD，∠FCM＝∠DCN，

∴△MFC≌△NDC（ASA）

∴CM＝CN，

∴CM＝2CG．