Question

【題目】在一次機器人測試中，要求機器人從A出發到達B處．如圖1，已知點A在O的正西方600cm處，B在O的正北方300cm處，且機器人在射線AO及其右側（AO下方）區域的速度為20cm/秒，在射線AO的左側（AO上方）區域的速度為10cm/秒．
（參考數據： ≈1.414， ≈1.732， ≈2.236， ≈2.449）
（1）分別求機器人沿A→O→B路線和沿A→B路線到達B處所用的時間（精確到秒）；
（2）若∠OCB=45°，求機器人沿A→C→B路線到達B處所用的時間（精確到秒）；
（3）如圖2，作∠OAD=30°，再作BE⊥AD于E，交OA于P．試說明：從A出發到達B處，機器人沿A→P→B路線行進所用時間最短．

Answer 1

【答案】
（1）解：沿A→O→B路線行進所用時間為：600÷20+300÷10=60（秒），

在Rt△OBA中，由勾股定理，得AB= =300 （cm）．

∴沿A→B路線行進所用時間為：300 ÷10≈300×2.236÷10≈67（秒）

（2）解：在Rt△OBC中，OB=300，∠OCB=45°，∴OC=OB=300cm，BC= =300 （cm），

∴AC=600﹣300=300（cm）．

∴沿A→C→B路線行進所用時間為：AC÷20+BC÷10=300÷20+300 ÷10≈15+42.42≈57（秒）

（3）解：在AO上任取異于點P的一點P′，作P′E′⊥AD于E′，連接P′B，

在Rt△APE和Rt△AP′E′中，sin30°= = ，∴EP= ，E′P′= ．

∴沿A→P→B路線行進所用時間為：AP÷20+PB÷10=EP÷10+PB÷10=（EP+PB）÷10= BE（秒），

沿A→P′→B路線行進所用時間為：

AP′÷20+P′B÷10=E′P′÷10+P′B÷10=（E′P′+P′B）÷10= （E′P′+P′B）（秒）．

連接BE′，則E′P′+P′B＞BE′＞BE，∴ BE＜ （E′P′+P′B）．

∴沿A→P→B路線行進所用時間，小于沿A→P′→B路線行進所用時間．

即機器人沿A→P→B路線行進所用時間最短

【解析】（1）根據已知先求出沿A→O→B路線行進所用時間，然后由勾股定理求出AB，從而求出沿A→B路線行進所用時間；（2）首先解Rt△OBC，運用三角函數求出BC，繼而得出AC，從而求出沿A→C→B路線到達B處所用的時間；（3）在AO上任取異于點P的一點P′，作P′E′⊥AD于E′，連接P′B，分別求出沿A→P→B路線行進所用時間和沿A→P′→B路線行進所用時間進行比較得出結論．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用等腰直角三角形和含30度角的直角三角形的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．