Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于H，過CD延長線上一點E作⊙O的切線交AB的延長線于F．切點為G，連接AG交CD于K．
（1）求證：KE=GE；
（2）若KG2=KDGE，試判斷AC與EF的位置關系，并說明理由；
（3）在（2）的條件下，若sinE= ，AK=2 ，求FG的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：如答圖1，連接OG．

∵EG為切線，∴∠KGE+∠OGA=90°，

∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°，

又OA=OG，∴∠OGA=∠OAG，

∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，

∴KE=GE．

（2）解：AC∥EF，理由為：

連接GD，如答圖2所示．

∵KG2=KDGE，即 ，

∴ ，又∠KGE=∠GKE，

∴△GKD∽△EGK，

∴∠E=∠AGD，又∠C=∠AGD，

∴∠E=∠C，

∴AC∥EF；

（3）解：連接OG，OC，如答圖3所示．

sinE=sin∠ACH= ，設AH=3t，則AC=5t，CH=4t，

∵KE=GE，AC∥EF，∴CK=AC=5t，∴HK=CK﹣CH=t．

在Rt△AHK中，根據勾股定理得AH2+HK2=AK2，

即（3t）2+t2=（2 ）2，解得t= ，

設⊙O半徑為r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r﹣3t，CH=4t，

由勾股定理得：OH2+CH2=OC2，

即（r﹣3t）2+（4t）2=r2，解得r= t= ．

∵EF為切線，∴△OGF為直角三角形，

在Rt△OGF中，OG=r= ，tan∠OFG=tan∠CAH= = ，

∴FG= = = ．

【解析】（1）如答圖1，連接OG．根據切線性質及CD⊥AB，可以推出連接∠KGE=∠AKH=∠GKE，根據等角對等邊得到KE=GE；（2）AC與EF平行，理由為：如答圖2所示，連接GD，由∠KGE=∠GKE，及KG2=KDGE，利用兩邊對應成比例且夾角相等的兩三角形相似可得出△GKD與△EKG相似，又利用同弧所對的圓周角相等得到∠C=∠AGD，可推知∠E=∠C，從而得到AC∥EF；（3）如答圖3所示，連接OG，OC．首先求出圓的半徑，根據勾股定理與垂徑定理可以求解；然后在Rt△OGF中，解直角三角形即可求得FG的長度．