Question

【題目】如圖，已知反比例函數y= （x＞0）的圖象與一次函 數y=﹣x+b的圖象分別交于A（1，3）、B兩點．

（1）求m、b的值；
（2）若點M是反比例函數圖象上的一動點，直線MC⊥x軸于C，交直線AB于點N，MD⊥y軸于D，NE⊥y軸于E，設四邊形MDOC、NEOC的面積分別為S1、S2 ， S=S2﹣S1 ， 求S的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：把A（1，3）的坐標分別代入y= 、y=﹣x+b，

∴m=xy=3，3=﹣1+b，

∴m=3，b=4

（2）解：由（1）知，反比例函數的解析式為y= ，一次函數的解析式為y=﹣x+4，

∵直線MC⊥x軸于C，交直線AB于點N，

∴可設點M的坐標為（x， ），點N的坐標為（x，﹣x+4），其中，x＞0，

又∵MD⊥y軸于D，NE⊥y軸于E，∴四邊形MDOC、NEOC都是矩形，

∴S1=x =3，S2=x（﹣x+4）=﹣x2+4x，

∴S=S2﹣S1=（﹣x2+4x）﹣3=﹣（x﹣2）2+1．其中，x＞0，

∵a=﹣1＜0，開口向下，

∴有最大值，

∴當x=2時，S取最大值，其最大值為1

【解析】（1）把A點的坐標代入反比例函數與一次函數的解析式，求出m，b即可；（2）設點M的坐標為（x， ），點N的坐標為（x，﹣x+4），求出四邊形MDOC和MDEN的面積，代入求出S=（﹣x2+4x）﹣3，把上式化成頂點式，即可求出答案．
【考點精析】本題主要考查了確定一次函數的表達式和比例系數k的幾何意義的相關知識點，需要掌握確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法；幾何意義：表示反比例函數圖像上的點向兩坐標軸所作的垂線段與兩坐標軸圍成的矩形的面積才能正確解答此題．