Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D為BC的中點，點E、F分別在邊AB和邊AC上，且∠EDF=90°，則下列結論一定成立的是_______

①△ADF≌△BDE

②S四邊形AEDF=S△ABC

③BE+CF=AD

④EF=AD

Answer 1

【答案】①②

【解析】

根據全等三角形性質和三角形中位線性質進行分析即可.

∵∠BAC=90°，AB=AC，點D為BC的中點，
∴AD=BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°，∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45°，
∵∠EDF=90°，
∴∠BDE+∠ADE=∠ADE+∠ADF=90°，
∴∠BDE=∠ADF，
在△ADF與△BDE中，

，
∴△ADF≌△BDE，
∴S△ADF=S△BDE，
∵S四邊形AEDF=S△ADE+S△ADF=S△ADE+S△BDE-S△ABD，
∵S△ABD=S△ABC，
∴S四邊形AEDF=S△ABC，
∵△ADF≌△BDE，
∴AF=BE，
∴BE+CF=AF+CF=AB>AD，
∵AD=BC，
當EF∥BC時，EF=BC，
而EF不一定平行于BC，
∴EF不一定等于BC，
∴EF≠AD，
故答案為：①②．