Question

【題目】如圖，在等邊△ABC中，線段AM為BC邊上的高．動點D在射線AM上時，以CD為一邊在CD的下方作等邊△CDE，連結BE．

（1）填空：∠ACB=______度；

（2）若點D在線段AM上時，求證：△ADC≌△BEC；

（3）當動點D在射線AM上時，設直線BE與直線AM的交點為O，試判斷∠AOB是否為定值？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）60；（2）見解析；（3）∠AOB是定值，∠AOB=60°，理由見解析

【解析】

（1）根據等邊三角形的每一個內角都等于60°進行解答；

（2）根據等邊三角形的性質就可以得出AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，由等式的性質就可以∠ACD=∠BCE，根據SAS就可以得出△ADC≌△BEC；

（3）分兩種情況討論：當點D在線段AM上時，如圖1，由（2）可知△ACD≌△BCE，即可以求出結論；當點D在線段AM的延長線上時，如圖2，可以得出△ACD≌△BCE，進而得到∠CBE=∠CAD=30°，即可得出結論．

（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°．

故答案為：60；

（2）∵△ABC與△DEC都是等邊三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=∠BCE．

在△ADC和△BEC中，∵，∴△ACD≌△BCE（SAS）；

（3）∠AOB是定值，∠AOB=60°．理由如下：

∵AD為等邊三角形的高，∴∠AMC=∠AMB=90°，∠CAO∠BAC=30°，∠ACB=60°，分兩種情況討論：

①當點D在線段AM上時，如圖1，由（2）可知△ACD≌△BCE，則∠CBE=∠CAD=30°．

又∵∠AMC=∠BMO=90°，∴∠AOB=90°－30°=60°．

②當點D在線段AM的延長線上時，如圖2．

∵△ABC與△DEC都是等邊三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=∠BCE．

在△ACD和△BCE中，∵，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CBE=∠CAD=30°．

又∵∠AMC=∠BMO=90°，∴∠AOB=90°－30°=60°．

綜上所述：當動點D在射線AM上時，∠AOB為定值60°．