Question

【題目】已知AB為⊙O的直徑,P為AB延長線上的任意一點,過點P作⊙O的切線,切點為C,∠APC的平分線PD與AC交于點D．

（1）如圖1,若∠CPA恰好等于30°,求∠CDP的度數；

（2）如圖2,若點P位于（1）中不同的位置，（1）的結論是否仍然成立？說明你的理由．

Answer 1

【答案】（1）∠CDP=45°；

（2）∠CDP的大小不發生變化，理由見解析.

【解析】試題分析：（1）連接OC，則∠OCP=90°，根據∠CPA=30°，求得∠COP，再由OA=OC，得出∠A=∠ACO，由PD平分∠APC，即可得出∠CDP=45°．（2）由PC是⊙O的切線，得∠OCP=90°．再根據PD是∠CPA的平分線，得∠APC=2∠APD．根據OA=OC，可得出∠A=∠ACO，即∠COP=2∠A，在Rt△OCP中，∠OCP=90°，則∠COP+∠OPC=90°，從而得出∠CDP=∠A+∠APD=45°．所以∠CDP的大小不發生變化．

試題解析：（1）連接OC，

∵PC是⊙O的切線，

∴OC⊥PC

∴∠OCP=90°．

∵∠CPA=30°，

∴∠COP=60°

∵OA=OC，

∴∠A=∠ACO=30°

∵PD平分∠APC，

∴∠APD=15°，

∴∠CDP=∠A+∠APD=45°．

（2）∠CDP的大小不發生變化．

∵PC是⊙O的切線，

∴∠OCP=90°．

∵PD是∠CPA的平分線，

∴∠APC=2∠APD．

∵OA=OC，

∴∠A=∠ACO，

∴∠COP=2∠A，

在Rt△OCP中，∠OCP=90°，

∴∠COP+∠OPC=90°，

∴2（∠A+∠APD）=90°，

∴∠CDP=∠A+∠APD=45°．

即∠CDP的大小不發生變化．