Question

如果方程x²-2x+m=0的兩實根為a，b，且a，b，1可以作為一個三角形的三邊之長，則實數m的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：若一元二次方程有兩根，則根的判別式△=b²-4ac≥0，建立關于m的不等式，求出m的取值范圍．再根據根與系數的關系和三角形中三邊的關系來再確定m的取值范圍，最后綜合所有情況得出結論．

解答：解：∵方程x²-2x+m=0的兩實根為a，b，
∴有△=4-4m≥0，
解得：m≤1，
由根與系數的關系知：a+b=2，a•b=m，
若a，b，1可以作為一個三角形的三邊之長，
則必有a+b＞1與|a-b|＜1同時成立，
故只需（a-b）²＜1即可，
化簡得：（a+b）²-4ab＜1，
把a+b=2，a•b=m代入得：4-4m＜1，
解得：m＞

3

4

，
∴

3

4

＜m≤1，
故本題答案為：

3

4

＜m≤1．

點評：主要考查一元二次方程的根的判別式與根的關系和一元二次方程根與系數的關系、三角形中三邊的關系．