Question

【題目】如圖，在ABCD中，點E是邊AD上一點，延長CE到點F，使∠FBC＝∠DCE，且FB與AD相交于點G．

（1）求證：∠D＝∠F；

（2）用直尺和圓規在邊AD上作出一點P，使△BPC∽△CDP，并加以證明．（作圖要求：保留痕跡，不寫作法．）

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析．

【解析】

（1）根據四邊形ABCD是平行四邊形可得AD∥BC，∠FGE＝FBC，再根據已知∠FBC＝∠DCE，進而可得結論；

（2）作三角形FBC的外接圓交AD于點P即可證明．

解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC

∴∠FGE＝∠FBC

∵∠FBC＝∠DCE，

∴∠FGE＝∠DCE

∵∠FEG＝∠DEC

∴∠D＝∠F．

（2）如圖所示：

點P即為所求作的點．

證明：作BC和BF的垂直平分線，交于點O，

作△FBC的外接圓，

連接BO并延長交AD于點P，

∴∠PCB＝90°

∵AD∥BC

∴∠CPD＝∠PCB＝90°

由（1）得∠F＝∠D

∵∠F＝∠BPC

∴∠D＝∠BPC

∴△BPC∽△CDP．