Question

【題目】在△ABM中，∠ABM＝90°，以AB為一邊向△ABM的異側(cè)作正方形ABCD，以A為圓心，AM為半徑作⊙A，我們稱(chēng)正方形ABCD為⊙A的“關(guān)于△ABM的友好正方形”，如果正方形ABCD恰好落在⊙A的內(nèi)部（或圓上），我們稱(chēng)正方形ABCD為⊙A的“關(guān)于△ABM的絕對(duì)友好正方形”，例如，圖1中正方形ABCD是⊙A的“關(guān)于△ABM的友好正方形”．

（1）圖2中，△ABM中，BA＝BM，∠ABM＝90°，在圖中畫(huà)出⊙A的“關(guān)于△ABM的友好正方形ABCD”．

（2）若點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）上，它的橫坐標(biāo)是2，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥y軸于B，若正方形ABCD為⊙A的“關(guān)于△ABO的絕對(duì)友好正方形”，求k的取值范圍．

（3）若點(diǎn)A是直線(xiàn)y＝﹣x+2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥y軸于B，若正方形ABCD為⊙A的“關(guān)于△ABO的絕對(duì)友好正方形”，求出點(diǎn)A的橫坐標(biāo)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）k≥4；（3）0＜m≤1或m＜0．

【解析】

（1）BA＝BM，∠ABM＝90°，則圓的半徑AM＝AB＝AC，故點(diǎn)C在圓上，即可求解；

（2）分a＝2、a＞2、a＜2三種情況，分別探究即可求解；

（3）分m＝1、0＜m＜1、m＝0、m＜0、m＞1五種情況，通過(guò)畫(huà)圖探究即可求解．

（1）∵BA＝BM，∠ABM＝90°，

∴圓的半徑AM＝AB＝AC，故點(diǎn)C在圓上，補(bǔ)全圖形如圖1，

（2）設(shè)A（2，a），

當(dāng)a＝2時(shí)，正方形ABCD 的頂點(diǎn)C恰好落在⊙A上（如圖2）；

當(dāng)a＞2時(shí)，正方形ABCD 的頂點(diǎn)均落在⊙A內(nèi)部（如圖3）；

當(dāng)a＜2時(shí)，正方形ABCD 的頂點(diǎn)C落在⊙A外部（如圖4）；

∵反比例函數(shù)過(guò)點(diǎn)，

∴當(dāng)a≥2時(shí)，則k≥4，

∴k的取值范圍為：k≥4；

（3）當(dāng)m＝1時(shí)，正方形ABCD 的頂點(diǎn)C恰好落在⊙A上（如圖5）；

當(dāng)0＜m＜1時(shí)，正方形ABCD 均落在⊙A內(nèi)部（如圖6）；

當(dāng)m＝0時(shí)，△ABO 不存在；

當(dāng)m＜0時(shí)，正方形ABCD 均落在⊙A內(nèi)部（如圖7）；

當(dāng)m＞1時(shí)，正方形ABCD 的頂點(diǎn)C落在⊙A外部（如圖8），（當(dāng)m＝2時(shí)△ABO不存在）；

綜上分析，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)m的取值范圍為：0＜m≤1或m＜0．