Question

【題目】下面是小方設計的“作一個30°角”的尺規作圖過程．

已知：直線AB及直線AB外一點P．

求作：直線AB上一點C，使得∠PCB＝30°．

作法：

①在直線AB上取一點M；

②以點P為圓心，PM為半徑畫弧，與直線AB交于點M、N；

③分別以M、N為圓心，PM為半徑畫弧，在直線AB下方兩弧交于點Q．

④連接PQ，交AB于點O．

⑤以點P為圓心，PQ為半徑畫弧，交直線AB于點C且點C在點O的左側．則∠PCB就是所求作的角．

根據小方設計的尺規作圖過程，

（1）使用直尺和圓規補全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明．

證明：∵PM＝PN＝QM＝QN，

∴四邊形PMQN是　 　．

∴PQ⊥MN，PQ＝2PO（　 　）．（填寫推理依據）

∵在Rt△POC中，sin∠PCB＝＝　 　（填寫數值）

∴∠PCB＝30°．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）菱形，菱形對角線互相垂直平分，．

【解析】

（1）根據圖中所給的作圖步驟，補全圖形，保留作圖痕跡．

（2）根據菱形的判定與性質，即可推得四邊形PMQN是菱形．菱形對角線互相垂直平分，可得PQ⊥MN，PQ＝2PO，利用正弦函數即可求得所作的叫是30°角．

（1）如圖即為補全的圖形；

（2）完成下面的證明．

∵PM＝PN＝QM＝QN，

∴四邊形PMQN是菱形．

∴PQ⊥MN，PQ＝2PO（菱形對角線互相垂直平分）．

∵在Rt△POC中，sin∠PCB＝，

∴∠PCB＝30°．

故答案為：菱形，菱形對角線互相垂直平分，．