Question

【題目】如圖1，點O為直線AB上一點，過O點作射線OC，使∠AOC：∠BOC＝1：2，將一直角三角板的直角頂點放在點O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．

（1）將圖1中的三角板繞點O按逆時針方向旋轉至圖2的位置，使得ON落在射線OB上，此時三角板旋轉的角度為　 　度；

（2）繼續將圖2中的三角板繞點O按逆時針方向旋轉至圖3的位置，使得ON在∠AOC的內部．試探究∠AOM與∠NOC之間滿足什么等量關系，并說明理由；

（3）在上述直角三角板從圖1逆時針旋轉到圖3的位置的過程中，若三角板繞點O按15°每秒的速度旋轉，當直角三角板的直角邊ON所在直線恰好平分∠AOC時，求此時三角板繞點O的運動時間t的值。

Answer 1

【答案】（1）90 （2）答案見解析 （3）4秒或16秒

【解析】

（1）根據旋轉的性質知，旋轉角是∠MON；

（2）如圖3，利用平角的定義，結合已知條件“∠AOC：∠BOC＝1：2”求得∠AOC＝60°；然后由直角的性質、圖中角與角間的數量關系推知∠AOM﹣∠NOC＝30°；

（3）需要分類討論：（ⅰ）當直角邊ON在∠AOC外部時，旋轉角是60°；（ⅱ）當直角邊ON在∠AOC內部時，旋轉角是240°

解：（1）由旋轉的性質知，旋轉角∠MON＝90°．

故答案是：90；

（2）如圖3，∠AOM﹣∠NOC＝30°．

設∠AOC＝α，由∠AOC：∠BOC＝1：2可得

∠BOC＝2α．

∵∠AOC+∠BOC＝180°，

∴α+2α＝180°．

解得 α＝60°．

即∠AOC＝60°．

∴∠AON+∠NOC＝60°．①

∵∠MON＝90°，

∴∠AOM+∠AON＝90°．②

由②﹣①，得∠AOM﹣∠NOC＝30°；

（3）（ⅰ）如圖4，當直角邊ON在∠AOC外部時，

由OD平分∠AOC，可得∠BON＝30°．

因此三角板繞點O逆時針旋轉60°．

此時三角板的運動時間為：

t＝60°÷15°＝4（秒）．

（ⅱ）如圖5，當直角邊ON在∠AOC內部時，

由ON平分∠AOC，可得∠CON＝30°．

因此三角板繞點O逆時針旋轉240°．

此時三角板的運動時間為：

t＝240°÷15°＝16（秒）．