Question

如圖1，已知△中，，現在△外作∠=∠，在上取一點，在 上取一點，使，并連接，.

（1）求證：；

（2）若∠=144°，求∠的度數；

（3）如圖2，若⊥，過點作∥交于點，連接．試判斷四邊形的形狀，并給出證明．

Answer 1

證明：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，又∵∠ACP=∠ACB，∴∠B=∠ACP，

在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE，∴AD=AE；        

（2）∵∠B=∠ACB=∠ACP，∠BCP=144°，∴∠B=∠ACB=∠ACP=72°,

∴∠BAC=36°,

由（1）知，△ABD≌△ACE，∴∠BAD=∠CAE，

∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠DAE=∠BAC=36°.  ………………8分

（3）四邊形CDFE 為菱形.理由如下：

∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠1=∠2，

又∵BD=CE，∴CE=CD，

由（1）知，△ABD≌△ACE，

∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，

在△ADF和△AEF中，∴△ADF≌△AEF，∴DF=EF，

∵EF∥BC，∴∠EFC=∠DCF，∴∠EFC=∠ECF，∴EC=EF，∴CD=CE=EF=DF，

∴四邊形CDFE為菱形．

(注：利用其他方法證明，只要正確即可)                         分