Question

【題目】如1，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，E為AD上一點且AE＝6，連接BE．

（1）將△ABE繞點B逆時針旋轉90°至△ABF（如圖2），且A、B、C三點共線，再將△ABF沿射線BC方向平移，平移速度為每秒1個單位長度，平移時間為t（s）（t≥0），當點A與點C重合時運動停止．

①在平移過程中，當點F與點E重合時，t＝　 　（s）．

②在平移過程中，△ABF與四邊形BCDE重疊部分面積記為S，求s與t的關系式．

（2）如圖3，點M為直線BE上一點，直線BC上有一個動點P，連接DM、PM、DP，且EM＝5，試問：是否存在點P，使得△DMP為等腰三角形？若存在，請直接寫出此時線段BP的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①6；②S＝；

（2）存在， 10﹣或10+或﹣1或+1或 ．

【解析】

（1）①如圖1中，連接EF．求出EF的長即可解決問題．

②分三種情形：如圖2﹣1中，當0＜t≤6時，重疊部分是△BMB′．如圖2﹣2中，當6＜t≤10時，重疊部分是△AFB′．如圖2﹣3中，當10＜t≤16時，重疊部分是△AMC，分別求解即可．

（2）分三種情形：DM＝DP，DM＝PM，PM＝PD，分別求解即可．

解：（1）①如圖1中，連接EF．

由題意EF＝AB＝BF＝6，

∴t＝6時，點F與點E重合，

故答案為6．

②如圖2﹣1中，當0＜t≤6時，重疊部分是△BMB′，

BB’=MB’=t，

S＝t2．

如圖2﹣2中，當6＜t≤10時，重疊部分是△AFB′，

AB’=FB’=6

S＝×6×6＝18．

如圖2﹣3中，當10＜t≤16時，重疊部分是△AMC，

AC=MC=16-t，

S＝（16﹣t）2，

綜上所述，S＝．

（2）如圖3中，總MH⊥AD于H，交BC于G．

∵AB＝AE＝6，∠A＝90°，

∴BE＝6，

∵EM＝5，

∴BM＝，

∴BG＝MG＝AH＝1，HM＝HE＝5，DH＝AD﹣AH＝9，

∴DM＝，

當DM＝DP時，可得CP1＝CP2＝，

∴BP1＝10﹣，BP2＝10+．

當MD＝MP時，可得GP3＝GP4＝，

∴BP3＝﹣1，BP4＝+1，

當PM＝PD時，設GP5＝x，則，

解得x＝，

∴BP5＝1+＝．