Question

【題目】在平面直角坐標系中，如圖1，將n個邊長為1的正方形并排組成矩形OABC，相鄰兩邊OA和OC分別落在x軸和y軸的正半軸上，設拋物線y=ax2+bx+c（a＜0）過矩形頂點B、C．
（1）當n=1時，如果a=﹣1，試求b的值；
（2）當n=2時，如圖2，在矩形OABC上方作一邊長為1的正方形EFMN，使EF在線段CB上，如果M，N兩點也在拋物線上，求出此時拋物線的解析式；
（3）將矩形OABC繞點O順時針旋轉，使得點B落到x軸的正半軸上，如果該拋物線同時經過原點O． ①試求當n=3時a的值；
②直接寫出a關于n的關系式．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線過矩形頂點B、C，其中C（0，1），B（n，1）

∴當n=1時，拋物線對稱軸為直線x= ，

∴ ，

∵a=﹣1，

∴b=1，

答：b的值是1

（2）解：設所求拋物線解析式為y=ax2+bx+1，

由對稱性可知拋物線經過點B（2，1）和點M（ ，2），

則 ，

解得

∴所求拋物線解析式為 ，

答：此時拋物線的解析式是

（3）解：①當n=3時，OC=1，BC=3，

設所求拋物線解析式為y=ax2+bx，

過C作CD⊥OB于點D，

則Rt△OCD∽Rt△OBC，

∴ ，

設OD=t，則CD=3t，

∵OD2+CD2=OC2，

∴（3t）2+t2=12，

∴ ，

∴C（ ， ），

又∵B（ ，0），

∴把B、C坐標代入拋物線解析式，得 ，

解得：a=﹣ ，

a關于n的關系式是

【解析】（1）根據已知得到拋物線對稱軸為直線x= ，代入即可求出b；（2）設所求拋物線解析式為y=ax2+bx+1，由對稱性可知拋物線經過點B（2，1）和點M（ ，2），把B、M的坐標代入得到方程組 ，求出a、b的值即可得到拋物線解析式；（3）①當n=3時，OC=1，BC=3，設所求拋物線解析式為y=ax2+bx，過C作CD⊥OB于點D，則Rt△OCD∽Rt△OBC，得出 ，設OD=t，則CD=3t，根據勾股定理OD2+CD2=OC2 ， 求出t，得出C的坐標，把B、C坐標代入拋物線解析式即可得到方程組，求出a即可；②根據（1）、（2）①總結得到答案．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用解二元一次方程組和勾股定理的概念的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握二元一次方程組：①代入消元法；②加減消元法；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．