Question

如圖，在直角坐標系中，O為原點，A（1,3）B（－2,0），△AOB的外接圓M交y軸于E點，AC是直徑，AD⊥OD于D。

(1﹚求證：AD·AC=AB·AO；
(2﹚求E、C兩點坐標。

Answer 1

（1）證明見解析(2﹚E（0，4），C（-3，1）

（1）證明：如圖：連接BC，AO，
∵AC是直徑，
∴∠ABC=90=∠ADO，
又∵ACBO是⊙M的內接四邊形，
∴∠AOD=∠C．
∴△ACB∽△AOD，
∴，
∴AD•AC=AB•AO．
（2）解：如圖： AD=BD=3，AB=3，
由（1）得：BC=，
過點C作CF⊥BD于F，則CF=BF=1，
∴C（-3，1）．
∵A（1，3），M是AC的中點，
∴M（-1，2）
過點M作MH⊥OE于H，則H（0，2），
∴E（0，4）．

（1）連接BC，OA，根據直徑所對的圓周角是直角，以及圓內接四邊形的一外角等于與它不相鄰的內對角，可以判定△ABC∽△ADO，再用相似三角形對應邊的比相等證明等式成立．
（2）由A，B兩點的坐標可以得到△ABD是等腰直角三角形，然后用（1）中相似三角形的性質，求出BC邊的長，得到點C的坐標，然后用垂徑定理得到點E的坐標