Question

【題目】如圖，二次函數的圖像與軸交于點，（在左側），與軸正半軸交于點，點在拋物線上，軸，且．

（1）求點，的坐標及的值；

（2）點為軸右側拋物線上一點．

①如圖①，若平分，交于點，求點的坐標；

②如圖②，拋物線上一點的橫坐標為2，直線交軸于點，過點作直線的垂線，垂足為，若，求點的坐標．

Answer 1

【答案】（1），，；（2）①；②或．

【解析】

（1）令y＝0，解方程即可求出點A、B的坐標，由此可求得AB的長及對稱軸，再根據即可求得OD長，根據對稱軸即可求得CD=6，再根據勾股定理即可求得點C坐標，將點C坐標代入函數關系式從而可求得a的值；

（2）①作于，根據平分可得，進而設，根據可得方程求解即可求得點E坐標為，再用待定系數法求得直線OP的函數關系式，與二次函數關系式聯立方程組即可求得點P坐標；

②分兩種情形（Ⅰ）若點在點上方，如圖②，（Ⅱ）若點在點下方，如圖③，分別列出方程即可解決．

解：（1）令，則

，

∴，，

∴，．

∴，拋物線的對稱軸為直線，

∵

∴，

∵點C在y軸上且軸，

∴，，

∴，

∴點，

∴，

∴．

（2）①作于，

∵平分，，，

∴，

設，

∵，

∴，

∴，

∴

設對應函數表達式為，

把代入，得，

∴對應函數表達式為．

∵，

∴二次函數表達式為，

∴，

解得或（舍去）

∴點．

②∵當時，，∴點．

設直線的函數表達式為

把點、點代入，

得

解得

∴直線的函數表達式為，

∴點，

∴．

∵，

∴，

∴．

（Ⅰ）若點在點上方，如圖②．

過點作軸的平行線，交軸于點．

∵，

∴軸，

∵軸，

∴點與點重合，，

∴，

∴，

∴設，，

∵軸，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴或（舍去），

∴．

把代入

得，．

∴．

（Ⅱ）若點在點下方，如圖③．

過點作軸，交的延長線于點，過點作的垂線，垂足為，交軸于點．

∴，

∴四邊形是正方形，

∴

∵軸，

∴，，

∴，

∴設，，

∵，，

∴，

又∵，

∴，

∴

∴，，

∴，，

∴，

代入，得

，

∴（舍去），，

∴，

代入得

，

∴．

綜上所述，或．