Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，點P在BC上．若點P為BC的中點，則m＝AP2+BPPC的值為多少？若BC邊上有100個不同的點P1，P2，…，P100，且mi＝APi2+BPiPiC（i＝1，2，…，100），則m＝m1+m2+…+m100 的值為多少？

Answer 1

【答案】4，400．

【解析】

第一個空,由等腰三角形的三線合一性質和勾股定理得出AP2+BP2＝AB2即可;第二個空,作AD⊥BC于D.根據勾股定理,得APi2＝AD2+DPi2＝AD2+（BD﹣BPi）2＝AD2+BD2﹣2BDBPi+BPi2，PiBPiC＝PiB（BC﹣PiB）＝2BDBPi﹣BPi2,從而求得m1＝AD2+BD2＝AB2,即可求解.

解：若點P為BC的中點，如圖1所示：

AB＝AC＝2，

∴AP⊥BC，BP＝CP，

∴∠APB＝90°，

∴AP2+BPPC＝AP2+BP2＝AB2＝4．

若BC邊上有100個不同的點P1，P2，…，P100，

作AD⊥BC于D，則BC＝2BD＝2CD，如圖2所示．

根據勾股定理，得

APi2＝AD2+DPi2＝AD2+（BD﹣BPi）2＝AD2+BD2﹣2BDBPi+BPi2，

又∵PiBPiC＝PiB（BC﹣PiB）＝2BDBPi﹣BPi2，

∴m1＝AD2+BD2＝AB2＝4，

∴m1+m2+…+m100＝4×100＝400．

故答案為：4，400．