Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+3與直線y＝x﹣3交于點A（3，0）和點B（﹣2，n），與y軸交于點C．

（1）求出拋物線的函數表達式；

（2）在圖1中，平移線段AC，點A、C的對應點分別為M、N，當N點落在線段AB上時，M點也恰好在拋物線上，求此時點M的坐標；

（3）如圖2，在（2）的條件下，在拋物線上是否存在點P（不與點A重合），使△PMC的面積與△AMC的面積相等？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）M點坐標為（4，﹣2）；（3）P點坐標為（，）或（，）或（，）．

【解析】

（1）先利用直線解析式確定B（﹣2，﹣5），然后利用待定系數法求拋物線解析式；

（2）解方程組﹣x2+2x+3＝0得A（3，0），易得C（0，3），設N（t，t﹣3），利用點利用的規律當點N先向下平移3個單位，再向右平移3個單位得到點M，則M（t+3，t﹣6），把M（t+3，t﹣6）代入y＝﹣x2+2x+3得t﹣6＝﹣（t+3）2+2（t+3）+3，當點N先向上平移3個單位，再向左平移3個單位得到點M，則M（t﹣3，t），把M（t﹣3，t）代入y＝﹣x2+2x+3得t＝﹣（t﹣3）2+2（t﹣3）+3，然后解方程求出t得到滿足條件的M點坐標；

（3）利用待定系數法求出直線MC的解析式為y＝﹣x+3，利用AP∥MC可設AP的解析式為y＝﹣x+p，則AP的解析式為y＝﹣x+，通過解方程組得此時P點坐標；再利用平移的方法得到再直線CM下方得到直線y＝﹣x+到直線CM的距離等于直線y＝﹣x+到直線CM的距離相等，然后解方程得此時P點坐標．

（1）把（﹣2，n）代入y＝x﹣3得n＝﹣2﹣3＝﹣5，則B（﹣2，﹣5），

把A（3，0），B（﹣2，﹣5）代入得，解得，

∴拋物線解析式為y＝﹣x2+2x+3；

（2）當y＝0時，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，則A（3，0），

當x＝0時，y＝﹣x2+2x+3＝3，則C（0，3）

設N（t，t﹣3），

∵AC平移得到MN，

∴AC∥MN，AC＝MN，

而點C先向下平移3個單位，再向右平移3個單位得到點A，

當點N先向下平移3個單位，再向右平移3個單位得到點M，則M（t+3，t﹣6），

把M（t+3，t﹣6）代入y＝﹣x2+2x+3得t﹣6＝﹣（t+3）2+2（t+3）+3，解得t1＝1，t2＝﹣6，

∴M點的坐標為（4，﹣5），（﹣3，﹣12）（舍去）

當點N先向上平移3個單位，再向左平移3個單位得到點M，則M（t﹣3，t），

把M（t﹣3，t）代入y＝﹣x2+2x+3得t＝﹣（t﹣3）2+2（t﹣3）+3，解得t1＝3（舍去），t2＝4，

∴M點的坐標為（﹣1，4）（舍去），

綜上所述，M點坐標為（4，﹣2）；

（3）設直線CM的解析式為y＝mx+n，

把C（0，3），M（4，﹣2）代入得，

∴直線MC的解析式為y＝﹣x+3，

∵△PMC的面積與△AMC的面積相等，

∴AP∥MC，

設AP的解析式為y＝﹣x+p，

把A（3，0）代入得p＝，

∴AP的解析式為y＝﹣x+，

解方程組得或，此時P點坐標為（，）；

直線AP的解析式為y＝﹣x+與y軸的交點坐標為（0，），

∵﹣3＝，

把直線CM向下平移個單位得到y＝﹣x+，

解方程得或，此時P點坐標為（），（），

綜上所述，P點坐標為（，）或（）或（）．