Question

【題目】如圖①，在Rt△ABC中，∠C=90°．將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△A’B’C，旋轉(zhuǎn)角為 ，且0°< <180°．在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)B’可以恰好落在AB的中點(diǎn)處，如圖②．

（1）求∠A的度數(shù)；
（2）當(dāng)點(diǎn)C到AA’的距離等于AC的一半時(shí)，求 的度數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）解：將 繞點(diǎn) 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到 ，旋轉(zhuǎn)角為 ，

∴ ．

∵點(diǎn) 可以恰好落在 的中點(diǎn)處，

∴點(diǎn) 是 的中點(diǎn)．

∵ ，

∴ ．

∴ ．

即 是等邊三角形．

∴ ．

∵ ，

∴

（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn) 作 于點(diǎn) ，

點(diǎn) 到 的距離等于 的一半，即 ．

在Rt 中， ， ，

∴ ．

∵ ，

∴ ．

∴ ，即 ．

【解析】（1）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和直角三角形的斜邊中線性質(zhì)，可先得∠ B = 60 °，再推出∠ A = 30 °；（2）利用30度角的正弦函數(shù)，先求出∠ C A D = 30 °，再求出旋轉(zhuǎn)角∠ A C A ' = 120 ° .
【考點(diǎn)精析】利用銳角三角函數(shù)的定義和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數(shù)；①旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的線段長(zhǎng)短不變，旋轉(zhuǎn)角度大小不變；②旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離不變；③旋轉(zhuǎn)后物體或圖形不變，只是位置變了．