Question

【題目】小明在“課外新世界”中遇到這樣一道題：如圖1，已知∠AOB=30°與線段a，你能作出邊長為a的等邊三角形△COD嗎？小明的做法是：如圖2，以O(shè)為圓心，線段a為半徑畫弧，分別交OA，OB于點(diǎn)M，N，在弧MN上任取一點(diǎn)P，以點(diǎn)M為圓心，MP為半徑畫弧，交弧CD于點(diǎn)C，同理以點(diǎn)N為圓心，N P為半徑畫弧，交弧CD于點(diǎn)D，連結(jié)CD，即△COD就是所求的等邊三角形．
（1）請寫出小明這種做法的理由；
（2）在此基礎(chǔ)上請你作如下操作和探究（如圖3）：連結(jié)MN，MN是否平行于CD？為什么？
（3）點(diǎn)P在什么位置時(shí)，MN∥CD？請用小明的作圖方法在圖1中作出圖形（不寫作法，保留作圖痕跡）．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖2，連結(jié)OP，

由題意可得 = ，

∴∠COM=∠POM， = ，

∴∠PON=∠DON，

∴∠POM+∠PON=∠COM+∠DON=30°，

∴∠COD=2∠MON=60°，

∴△OCD是等邊三角形；

（2）解：不一定，只有當(dāng)∠COM=15°，CD∥MN，

理由：∵∠COM=15°，∠MON=30°，

∴∠CON=45°，

∵∠C=60°，

∴∠OEC=75°，

∵ON=OM，

∴∠ONM=∠OMN=75°，

∴∠OEC=∠ONM，

∴CD∥MN

（3）解：當(dāng)P是 的中點(diǎn)時(shí)，MN∥CD；如圖3所示．

【解析】（1）如圖2，連結(jié)OP，由題意可得 = ， = ，于是得到∠COM=∠POM，∠PON=∠DON，由已知條件得到∠COD=2∠MON=60°，于是得到結(jié)論；（2）根據(jù)他在他家得到∠CON=45°，得到∠OEC=75°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ONM=∠OMN=75°，求得∠OEC=∠ONM，根據(jù)平行線的判定定理即可得到結(jié)論；（3）當(dāng)P是 的中點(diǎn)時(shí)，MN∥CD；根據(jù)題意作出圖形即可．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用平行線的判定與性質(zhì)和等邊三角形的判定，掌握由角的相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的條件，得到兩條直線平行（位置關(guān)系）這是平行線的判定；由平行線（位置關(guān)系）得到有關(guān)角相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的結(jié)論是平行線的性質(zhì)；三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形即可以解答此題．