Question

【題目】閱讀下列材料并解決有關問題：我們知道|x|＝，現在我們可以用這個結論來化簡含有絕對值的代數式，如化簡代數式|x+1|+|x﹣2|時，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分別求得x＝﹣1，x＝2（稱﹣1，2分別叫做|x+1|與|x﹣2|的零點值．）在有理數范圍內，零點值x＝﹣1和x＝2可將全體有理數分成不重復且不遺漏的如下3種情況：

（1）當x＜﹣1時，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；

（2）當﹣1≤x≤2時，原式＝x+1﹣（x﹣2）＝3；

（3）當x＞2時，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1．

綜上所述，原式＝．

通過以上閱讀，請你解決以下問題：

（1）分別求出|x+2|和|x﹣4|的零點值；

（2）化簡代數式|x+2|+|x﹣4|；

（3）求方程：|x+2|+|x﹣4|＝6的整數解；

（4）|x+2|+|x﹣4|是否有最小值？如果有，請直接寫出最小值；如果沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）﹣2，4分別為|x+2|和|x﹣4|的零點值；（2）當x＜﹣2時，﹣2x+2；當﹣2≤x＜4時， 6；當x≥4時， 2x﹣2；（3）整數解為：﹣2，﹣1，0，1，2，3，4；（4）有，|x+2|+|x﹣4|的最小值是6．

【解析】

（1）根據題中所給材料，求出零點值；

（2）將全體實數分成不重復且不遺漏的三種情況解答；

（3）由|x+2|+|x-4|=6，得到-2≤x≤4，于是得到結果；

（4）|x+2|+|x-4|有最小值，通過x的取值范圍即可得到結果．

（1）∵|x+2|和|x﹣4|的零點值，可令x+2＝0和x﹣4＝0，解得x＝﹣2和x＝4，

∴﹣2，4分別為|x+2|和|x﹣4|的零點值．

（2）當x＜﹣2時，|x+2|+|x﹣4|＝﹣2x+2；

當﹣2≤x＜4時，|x+2|+|x﹣4|＝6；

當x≥4時，|x+2|+|x﹣4|＝2x﹣2；

（3）∵|x+2|+|x﹣4|＝6，

∴﹣2≤x≤4，

∴整數解為：﹣2，﹣1，0，1，2，3，4．

（4）|x+2|+|x﹣4|有最小值，

∵當x＝﹣2時，|x+2|+|x﹣4|＝6，

當x＝4時，|x+2|+|x﹣4|＝6，

∴|x+2|+|x﹣4|的最小值是6．