Question

如圖，△ABC中，∠BAC=60°，AB=2AC．點P在△ABC內，且PA=

3

，PB=5，PC=2，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：首先構造△ABQ使得∠QAB=∠PAC，∠ABQ=∠ACP．根據相似三角形的性質，求得AQ、BQ的值．再根據角間的關系求得∠QAP=60°，進而得到△APQ為直角三角形、△BQP為直角三角形．再利用勾股定理求得AB²的長．利用正弦定理與三角形的面積計算公式求得△ABC的面積．

解答：解：如圖，作△ABQ，使得∠QAB=∠PAC，∠ABQ=∠ACP，則△ABQ∽△ACP．
∵AB=2AC，
∴△ABQ與△ACP相似比為2．
∴AQ=2AP=2

3

，BQ=2CP=4，
∠QAP=∠QAB+∠BAP=∠PAC+∠BAP=∠BAC=60°．
由AQ：AP=2：1知，∠APQ=90°，于是PQ=

3

AP=3，
∴BP²=25=BQ²+PQ²，從而∠BQP=90°，
過A點作AM∥PQ，延長BQ交AM于點M，
∴AM=PQ，MQ=AP，
∴AB²=AM²+（QM+BQ）²=PQ²+（AP+BQ）²=28+8

3

，
故S_△ABC=

1

2

AB•ACsin60°=

3

8

AB2=

6+7 3

2

=3+

7 3

2

．
故答案為：3+

7 3

2

．

點評：本題考查三角形面積的計算、勾股定理、相似三角形的判定與性質．解決本題的關鍵是構造△ABQ使得∠QAB=∠PAC，∠ABQ=∠ACP，根據相似三角形的性質及勾股定理求得AB²的值．