Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，，，的垂直平分線交軸與點，連接，為第一象限內的點．

（1）求點坐標；

（2）當時，求的值；

（3）如圖2，點為軸上的一個動點，當為等腰三角形時，直接寫出點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）;(2)a=6;(3) 或 或 或

【解析】

（1）設OD=x，則AD=8-x，由線段垂直平分線的性質得BD=AD=8-x，在Rt△BOD中，由勾股定理得出方程，解方程即可得出D點坐標；

（2）設直線BD的解析式為y=kx+b，由待定系數法即可得出解析式，由題意得出△DBC與△DBM是同底等高的三角形，得出BD與直線CM平行，求出直線CM的解析式為 ；把M(a，1)代入，求出a=6即可；

（3）由勾股定理求出AB，得出 ，由勾股定理求出 ，分三種情況：①EC=ED時，②DC=DE時；③CE=CD時；分別求出點E的坐標即可.

解：（1）∵B(4，0)，A(0，8)

∴OA=8，OB=4

設OD=x，則AD=8-x

∵AB的垂直平分線交與y軸于點D

∴BD=AD=8-x

在Rt△BOD中，由勾股定理得：

∴x=3

∴D(0，3)

(2)設直線BD的解析式為y=kx+b，

把B(4，0)和D(0，3)代入y=kx+b得：

∴

則直線BD的解析式為

∵ 時，

∴△DBC與△DBM同是底為BD，且高相等的三角形

∴直線BD與直線CM平行

設CM的解析式為 ，

∵CD是AB的垂直平分線

∴C是AB的中點

∵B(4，0)，A(0，8)，

∴C(2，4)

把C(2，4)代入得：，

解得：

∴直線CM的解析式為

又因為M(a，1)且在第一象限

∴

解得：a=6

（3）由勾股定理得，

∵點C為邊AB的中點

∴

∵AD=OA-OD=5

∴

設E(0，x)，則

分三種情況：①EC=ED時， 過E作EQ⊥CD于Q，如圖所示：

則EQ∥AB

∴Q為CD的中點

∴E為AD的中點

∴AE=ED

∴8-x=x-3

解得：

②DC=DE時

∴

∴ 或

∴ 或

③CE=CD時，過C作CF⊥AO交于F，如圖所示：

∴∠AFC=∠AOB=90°F為ED中點

∴FC//OB，EF=DF

∵C為AB的中點

∴F為AO的中點，

∵A(0，8)，O(0，0)

∴F(0，4)

∴EF=DF=1

∴x-4=1

∴x=5

∴E(0，5)

綜上所述：當△CDE為等腰三角形時，E點的坐標為或 或 或