Question

【題目】如圖1，拋物線y=ax2+bx+3交x軸于點A（﹣1，0）和點B（3，0）．

（1）求該拋物線所對應的函數解析式；

（2）如圖2，該拋物線與y軸交于點C，頂點為F，點D（2，3）在該拋物線上．

①求四邊形ACFD的面積；

②點P是線段AB上的動點（點P不與點A、B重合），過點P作PQ⊥x軸交該拋物線于點Q，連接AQ、DQ，當△AQD是直角三角形時，求出所有滿足條件的點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）①S四邊形ACFD= 4；②Q點坐標為（1，4）或（，）或（，）．

【解析】

（1）由A、B兩點的坐標，利用待定系數法即可求得拋物線解析式；

（2）①連接CD，則可知CD∥x軸，由A、F的坐標可知F、A到CD的距離，利用三角形面積公式可求得△ACD和△FCD的面積，則可求得四邊形ACFD的面積；②由題意可知點A處不可能是直角，則有∠ADQ=90°或∠AQD=90°，當∠ADQ=90°時，可先求得直線AD解析式，則可求出直線DQ解析式，聯立直線DQ和拋物線解析式則可求得Q點坐標；當∠AQD=90°時，設Q（t，-t2+2t+3），設直線AQ的解析式為y=k1x+b1，則可用t表示出k′，設直線DQ解析式為y=k2x+b2，同理可表示出k2，由AQ⊥DQ則可得到關于t的方程，可求得t的值，即可求得Q點坐標．

（1）由題意可得，解得，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3；

（2）①∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴F（1，4），

∵C（0，3），D（2，3），

∴CD=2，且CD∥x軸，

∵A（﹣1，0），

∴S四邊形ACFD=S△ACD+S△FCD=×2×3+×2×（4﹣3）=4；

②∵點P在線段AB上，

∴∠DAQ不可能為直角，

∴當△AQD為直角三角形時，有∠ADQ=90°或∠AQD=90°，

i．當∠ADQ=90°時，則DQ⊥AD，

∵A（﹣1，0），D（2，3），

∴直線AD解析式為y=x+1，

∴可設直線DQ解析式為y=﹣x+b′，

把D（2，3）代入可求得b′=5，

∴直線DQ解析式為y=﹣x+5，

聯立直線DQ和拋物線解析式可得，解得或，

∴Q（1，4）；

ii．當∠AQD=90°時，設Q（t，﹣t2+2t+3），

設直線AQ的解析式為y=k1x+b1，

把A、Q坐標代入可得，解得k1=﹣（t﹣3），

設直線DQ解析式為y=k2x+b2，同理可求得k2=﹣t，

∵AQ⊥DQ，

∴k1k2=﹣1，即t（t﹣3）=﹣1，解得t=，

當t=時，﹣t2+2t+3=，

當t=時，﹣t2+2t+3=，

∴Q點坐標為（，）或（，）；

綜上可知Q點坐標為（1，4）或（，）或（，）．