Question

【題目】已知∠BAC的平分線與BC的垂直平分線DG相交于點D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，

（1）連接CD、BD，求證：△CDF≌△BDE；

（2）若AE＝5，AC＝3，求BE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）2.

【解析】

（1）連CD、BD，如圖，根據角平行線的性質定理得到DE=DF，根據線段垂直平分線的性質得CD=BD，則可利用“HL“證明Rt△CDF≌Rt△BDE；

（2）先證明Rt△ADF≌Rt△ADE得到AE=AF，再由Rt△CDF≌Rt△BDE得出BE=CF，進而解答即可．

證明：（1）如圖，連接CD、BD，

∵AD平分∠BAE，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE＝DF，

又∵DG垂直平分BC，

∴CD＝BD，

在Rt△CDF和Rt△BDE中

∵，

∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），

（2）在Rt△ADF和Rt△ADE中

∵，

∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），

∴AE＝AF，

∵Rt△CDF≌Rt△BDE，

∴BE＝CF，

∵CF＝AF﹣AC＝5﹣3＝2，

∴BE＝2．