Question

20．如圖，一次函數y=ax+b的圖象與反比例函數y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象交于點P（m，4），與x軸交于點A（-3，0），與y軸交于點C，PB⊥x軸于點B，且AC=BC．
（1）求反比例函數與一次函數的解析式；
（2）反比例函數圖象上是否存在點D，使四邊形BCPD為菱形？如果存在，求出點D的坐標；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）先根據題意得出P點坐標，把點P（3，4）代入反比例函數y=$\frac{k}{x}$即可得出k的值，再將A、P兩點的坐標代入y=ax+b求出kb的值，故可得出一次函數的解析式，進而得出結論；
（2）先求得y=2時，x=6，再根據菱形的判定即可求解．

解答 解：（1）∵AC=BC，CO⊥AB，A（-3，0），
∴O為AB的中點，即OA=OB=3，
∴P（3，4），B（3，0），
將P（3，4）代入反比例解析式得：k=12，即反比例解析式為y=$\frac{12}{x}$．
將A（-3，0）與P（3，4）代入y=ax+b得：$\left\{\begin{array}{l}{-3a+b=0}\\{3a+b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2}{3}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴一次函數解析式為y=$\frac{2}{3}$x+2；

（2）如圖所示，
把y=2代入y=$\frac{12}{x}$中，得x=6，得D（6，2），
PB垂直且平分CD，
則四邊形BCPD為菱形．
則點D（6，2）．

點評 本題考查的是反比例函數綜合題，涉及到一次函數與反比例函數圖象上點的坐標特點、菱形的判定與性質等知識，難度適中．