Question

【題目】如圖，點C在以AB為直徑的⊙O上．AE與過點C的切線垂直，垂足為D，AD交⊙O于點E，過B作BF∥AE交⊙O于點F，連接CF．

（1）求證：∠B＝2∠F；

（2）已知AE＝8，DE＝2，過B作BF∥AE交⊙O于F，連接CF，求CF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）CF＝2．

【解析】

（1）連接OC，根據切線的性質得出OC⊥CD，即可證得OC∥AD，根據平行線的性質以及等腰三角形的性質得出∠DAB＝2∠F，進而即可證得結論；

（2）連接AF、AC，延長CO交⊙O于H，過O作OG⊥AE于G，首先根據平行線的性質證得∠ACH＝∠HCF然后根據垂徑定理證得AH＝FH，根據垂直平分線的性質得出AC＝FC，進而通過證得四邊形OCDG是矩形求得半徑，然后根據勾股定理求得OG．得出CD，最后根據勾股定理求得AC，從而求得FC．

（1）證明：連接OC，

∵CD是⊙O的切線，

∴OC⊥CD，

∵AD⊥CD，

∴OC∥AD，

∴∠BOC＝∠DAB，

由圓周角定理得，∠BOC＝2∠F，

∴∠DAB＝2∠F，

∵AD∥BF，

∴∠B＝∠DAB，

∴∠B＝2∠F；

（2）解：連接AF、AC，延長CO交⊙O于H，過O作OG⊥AE于G，

∵OC∥AD，AE∥BF，

∴OC∥BF，

∴∠F＝∠HCF，

∵∠B＝2∠F，

∴∠B＝2∠HCF，

∵∠ACF＝∠B，

∴∠ACF＝2∠HCF，

∴∠ACH＝∠HCF，

∴，

∴CH垂直平分AF，

∴CF＝AC，

∵OG⊥AE，

∴AG＝EG＝4，

∴GD＝GE+ED＝4+2＝6，

∵∠OGD＝∠D＝∠OCD＝90°，

∴四邊形OCDG是矩形，

∴OC＝GD＝6，OG＝CD，

∵OA＝OC＝6，AG＝4，

∴OG＝

∴DC＝ ，

在Rt△ADC中，AC＝

∴CF＝AC＝．