Question

【題目】已知：如圖，BD是半圓O的直徑，A是BD延長線上的一點，BC⊥AE，交AE的延長線于點C，交半圓O于點F，且E為弧DF的中點．

（1）求證：AC是半圓O的切線；

（2）若BC＝8，BE＝6，求半徑的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）．

【解析】

（1）要證AC是⊙O的切線，只要連接OE，再證DE⊥AC即可；

（2）根據相似三角形的性質即可求出結論．

（1）證明：連接OE．

∵E為 的中點，

∴，

∴∠OBE＝∠CBE，

∵OE＝OB，

∴∠OEB＝∠OBE，

∴∠OEB＝∠CBE，

∴OE∥BC，

∵BC⊥AC，

∴∠C＝90°，

∴∠AEO＝∠C＝90°，即OE⊥AC，

又∵OE為半圓O的半徑，

∴AC是半圓O的切線；

（2）∵E為 的中點，

∴，

∴∠OBE＝∠CBE，

∵∠BED＝∠C＝90°，

∴△BDE∽△BEC，

∴,

∴ ，

∴BD＝9，

∴半徑的長為．