Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點P是AB下方的半圓上不與點A，B重合的一個動點，點C為AP中點，延長CO交⊙O于點D，連接AD，過點D作⊙O的切線交PB的廷長線于點E，連CE交AB于點F，連接DF．
（1）求證：△DAC≌△ECP；
（2）填空： ①四邊形ACED是何種特殊的四邊形？
②在點P運動過程中，線段DF、AP的數量關系是 ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵DE為切線，

∴OD⊥DE，

∴∠CDE=90°，

∵點C為AP的中點，

∴DC⊥AP，

∴∠DCA=∠DCP=90°，

∵AB是⊙O直徑，

∴∠APB=90°，

∴四邊形DEPC為矩形，

∴DC=EP，

在△DAC和△ECP中

，

∴△DAC≌△ECP；

（2）①∵△DAC≌△ECP，

∴AD=CE，∠DAC=∠ECP，

∴AD∥CE，

∴四邊形ACED是平行四邊形

②線段DF、AP的數量關系是DF= AP

【解析】②∵OA=OD， ∴∠DAO=∠ADO，
∵AD∥CE，
∴∠ADO=∠DCF，
∴∠DAO=∠DCF，
∴A，C，F，D四點共圓，
∴ = ，
∴AC=DF，
∵AC= AP，
∴DF= AP，
所以答案是：DF= AP．
【考點精析】認真審題，首先需要了解切線的性質定理(切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑)．