Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點為坐標原點，,點的坐標分別為，動點從點沿以每秒個單位的速度運動；動點從點沿以每秒個單位的速度運動．同時出發，設運動時間為秒．

（1）在時，點坐標 ，點坐標 ；

（2）當為何值時，四邊形是矩形？

（3）運動過程中，四邊形能否為菱形？若能，求出的值；若不能，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）M（3,8） N（15,0） ;（2）t=7 ;（3）能，t=5 .

【解析】

（1）根據點B、C的坐標求出AB、OA、OC，然后根據路程=速度×時間求出AM、CN，再求出ON，然后寫出點M、N的坐標即可；
（2）根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形，當AM=ON時，四邊形OAMN是矩形，然后列出方程求解即可；
（3）先求出四邊形MNCB是平行四邊形的t值，并求出CN的長度，然后過點B作BC⊥OC于D，得到四邊形OABD是矩形，根據矩形的對邊相等可得OD=AB，BD=OA，然后求出CD，再利用勾股定理列式求出BC，然后根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形進行驗證．

解：（1）∵B（15，8），C（21，0），
∴AB=15，OA=8，
OC=21，
當t=3時，AM=1×3=3，
CN=2×3=6，
∴ON=OC-CN=21-6=15，
∴點M（3，8），N（15，0）；
故答案為：（3，8）；（15，0）；

（2）當四邊形OAMN是矩形時，AM=ON，
∴t=21-2t，
解得t=7秒，
故t=7秒時，四邊形OAMN是矩形；

（3）存在t=5秒時，四邊形MNCB為菱形．
理由如下：四邊形MNCB是平行四邊形時，BM=CN，
∴15-t=2t，
解得：t=5秒，
此時CN=5×2=10，
過點B作BD⊥OC于D，則四邊形OABD是矩形，
∴OD=AB=15，BD=OA=8，
CD=OC-OD=21-15=6，
在Rt△BCD中，BC==10，
∴BC=CN，
∴平行四邊形MNCB是菱形，
故，存在t=5秒時，四邊形MNCB能否為菱形．