Question

【題目】如圖，等邊三角形ABC的邊長是6，點D、F分別是BC、AC上的動點，且BD＝CF，以AD為邊作等邊三角形ADE，連接BF、EF．

（1）求證：四邊形BDEF是平行四邊形；

（2）連接DF，當BD的長為何值時，△CDF為直角三角形？

（3）設BD＝x，請用含x的式子表示等邊三角形ADE的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）BD＝2或4；（3）S△ADE＝（x﹣3）2+（0≤x≤6）

【解析】

(1)：要證明四邊形BDEF是平行四邊形，一般采用對邊平行且相等來證明，因為已經有了DB=CF，只要有△ABD全等△ACE，就能得到∠ACE=∠ABD=60°，CE=CF=EF=BD，再利用∠CFE＝60°＝∠ACB，就能平行，故第一問的證；

(2)：反推法，當△CDF為直角三角形，又因為∠C=60°，當∠CDF=90°時，可以知道

2CD=CF，因為CF=BD，BD+CD=6，∴BD=4，當∠CFD=90°時，可以知道CD=2CF，因為CF=BD，BD+CD=6，∴BD=2，故當BD=2或4時，△CFD為直角三角形；

(3)：求等邊三角形ADE的面積，只要知道邊長就可求出，但是AD是變化的，所以我們采用組合面積求解，利用四邊形ADCE減去△CDE即可，又因為△ABD≌△ACE，所以四邊形ADCE的面積等于△ABD的面積，所以只需要求出△ABC的面積與△CDE即可,從而即可求面積.

解：（1）

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝BC，∠BAC＝∠ABD＝∠BCF＝60°，

∵BD＝CF，

∴△ABD≌△BCF（SAS），

∴BD＝CF，

如圖1，連接CE，∵△ADE是等邊三角形，

∴AD＝AE，∠DAE＝60°，

∴∠BAD＝∠CAE，

∵AB＝AC，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠ACE＝∠ABD＝60°，BD＝CE，

∴CF＝CE，

∴△CEF是等邊三角形，

∴EF＝CF＝BD，∠CFE＝60°＝∠ACB，

∴EF∥BC，

∵BD＝EF，

∴四邊形BDEF是平行四邊形；

（2）∵△CDF為直角三角形，

∴∠CFD＝90°或∠CDF＝90°，

當∠CFD＝90°時，∵∠ACB＝60°，

∴∠CDF＝30°，

∴CD＝2CF，

由（1）知，CF＝BD，

∴CD＝2BD，

即：BC＝3BD＝6，

∴BD＝2，

∴x＝2，

當∠CDF＝90°時，∵∠ACB＝60°，

∴∠CFD＝30°，

∴CF＝2CD，

∵CF＝BD，

∴BD＝2CD，

∴BC＝3CD＝6，

∴CD＝2，

∴x＝BD＝4，

即：BD＝2或4時，△CDF為直角三角形；

（3）如圖，

連接CE，由（1）△ABD≌△ACE，

∴S△ABD＝S△ACE，BD＝CE，

∵BD＝CF，

∴△CEF是等邊三角形，

∴EM＝CE＝x，

∴S△CDE＝CD×EM＝（6﹣x）×x＝x（6﹣x）

∴BH＝CH＝BC＝3，

∴AH＝3，

∴S△ABC＝BCAH＝9

∴S△ADE＝S四邊形ADCE﹣S△CDE

＝S△ACD+S△ACE﹣S△CDE

＝S△ACD+S△ABD﹣S△CDE

＝S△ABC﹣S△CDE

＝9﹣x（6﹣x）

＝（x﹣3）2+（0≤x≤6）