Question

【題目】己知，二次函數y=﹣x2+bx+c的圖象與x軸的兩個交點A，B的橫坐標分別為1和2，與y軸的交點是C．

（1）求這個二次函數的表達式；

（2）若點D是y軸上的一點，是否存在D，使以B，C，D為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求點D的坐標，若不存在，請說明理由；

（3）過點C作CE∥x軸，與二次函數y=﹣x2+bx+c的圖象相交于點E，點H是該二次函數圖象上的動點，過點H作HF∥y軸，交線段BC于點F，試探究當點H運動到何處時，△CHF與△HFE的面積之和最大，求點H的坐標及最大面積．

Answer 1

【答案】（1）二次函數的表達式y=﹣x2+3x﹣2；（2）D（0，﹣1）或D（0，6）；（3）最大面積為1.5，H（1，0）．

【解析】試題分析：（1）由已知利用待定系數法進行求解即可得解析式；

（2）分兩種情況，利用相似三角形的比例式即可求出點D的坐標；

（3）先求出直線BC的解析式，進而求出△CHF與△HFE的面積之和的函數關系式，即可求出最大值.

試題解析：（1）∵二次函數y=﹣x2+bx+c的圖象與x軸的兩個交點A，B的橫坐標分別為1和2，

∴A（1，0），B（2，0），

∴，

∴，

∴二次函數的表達式y=﹣x2+3x﹣2；

（2）∵二次函數的表達式y=﹣x2+3x﹣2，

∴C（0，﹣2），

∴OC=2，

∵A（1，0），B（2，0）

∴OB=2，

∴OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB=45°，

∴∠BAC＜135°，即：點D只能在點C上方的y軸上，

∴∠DCB=∠ABC=45°

∴設D（0，d），d＞﹣2，

∵A（1，0），B（2，0），C（0，﹣2），

∴AB=1，BC=2，CD=d+2，

∵以B，C，D為頂點的三角形與△ABC相似，

∴①△DCB∽△ABC，

∴=1，

∴CD=AB=1，

∴d+2=1，

∴d=﹣1，

∴D（0，﹣1）；

②△BCD∽△ABC，

∴，

∴，

∴d=6，

∴D（0，6）；

（3）如圖，

∵CE∥軸，

∴令y=﹣2，

∴﹣2=﹣x2+3x﹣2，

∴x=0（舍）或x=3，

∴E（3，﹣2），

∵B（2，0），C（0，﹣2），

∴直線BC的解析式為y=x﹣2，設H（m，﹣m2+3m﹣2），F（m，m﹣2），

∵點F是線段BC上的點，

∴0＜m＜2，HF=﹣m2+3m﹣2﹣（m﹣2）=﹣m2+2m，

∴S△CHF+S△EHF=HF×3=（﹣m2+2m）=﹣（m2﹣2m+1）+=﹣（m﹣1）2+，

∴m=1時，△CHF與△HFE的面積之和最大，最大面積為，此時，H（1，0）．