Question

【題目】將紙片△ABC沿AD折疊，使點C剛好落在AB邊上的E處，展開如圖1．

[操作觀察]

（1）如圖2，作DF⊥AC，垂足為F，且DF=3，AC=6，S△ABC=21，則AB=　 　；

[理解應用]

（2）①如圖3，設G為AC上一點（與A、C）不重合，P是AD上一個動點，連接PG、PC．試說明：PG+PC與EG大小關系；

②連接EC，若∠BAC=60°，G為AC中點，且AC=6，求EC長．

[拓展延伸]

（3）請根據前面的解題經驗，解決下面問題：

如圖4，在平面直角坐標系中有A（1，4），B（3，﹣2），點P是x軸上的動點，連接AP、BP，當AP﹣BP的值最大時，請在圖中標出P點的位置，并直接寫出此時P點的坐標為　 　，AP﹣BP的最大值為　 　．

Answer 1

【答案】（1）8；（2）①PG+PC≥EG，理由見解析；②連6；（3）（5，0），2．

【解析】

（1）根據折疊的特性可知折痕AD為∠BAC的角平分線，由此可得出點D到AB和點D到AC的距離相等，再根據三角形的面積公式即可得出結論；

（2）連接CM、PE、CE，根據三角形兩邊之和大于第三邊得出當點P與點M重合時，PF+PC值最小，再根據折疊的性質得出AE=AC，結合∠BAC=60°即可得出△AEC為等邊三角形，由此即可解決問題；

（3）作點B關于x軸的對稱點B′，連接AB′、PB′，延長AB′交x軸于點P′，根據三角形內兩邊之差小于第三邊找出當點P和P′點重合時，AP﹣BP的值最大，再由點B的坐標可得出點B′的坐標，結合點A、B′的坐標即可求出直線AB′的解析式，令其y=0求出x即可找出點P′的坐標，由此即可得出結論．

（1）∵將紙片△ABC沿AD折疊，使C點剛好落在AB邊上的E處，∴AD為∠BAC的角平分線，∴點D到AB和點D到AC的距離相等，∴S△ABC=ABDF+ACDF=21，∴AB3+×6×3=21，∴AB=8．

故答案為：8．

（2）①結論：PG+PC≥EG．理由如下：

連接PE，如圖3所示．

∵將紙片△ABC沿AD折疊，使C點剛好落在AB邊上的E處，∴AD為∠BAC的角平分線，AE=AC，∴PE=PC．在△PEG中，PE+PG≥EG，∴PC+PG≥EG．

②連接EC，如圖3中．

∵AE=AC，∠BAC=60°，∴△AEC為等邊三角形．

又∵AC=6，∴EC=AC=6．

（3）作點B關于x軸的對稱點B′，連接AB′、PB′，延長AB′交x軸于點P′，如圖4所示．

∵點B和B′關于x軸對稱，∴PB=PB′，P′B′=P′B．

∵在△APB′中，AB′＞AP﹣PB′，∴AP′﹣B′P′=AP′﹣BP′=AB′＞AP﹣PB′=AP﹣PB，∴當點P與點P′重合時，AP﹣BP最大．

設直線AB′的解析式為y=kx+b．

∵點B（3，﹣2），∴點B′（3，2），AB′===2．

將點A（1，4）、B′（3，2）代入y=kx+b中，得：，解得：，∴直線AB′的解析式為y=﹣x+5．

令y=﹣x+5中y=0，則﹣x+5=0，解得：x=5，∴點P′（5，0）．

故AP﹣BP的最大值為2，此時P點的坐標為（5，0）．

故答案為：（5，0），2．