Question

【題目】點A，B的坐標分別為（-2,3）和（1,3），拋物線y=ax2+bx+c（a<0）的頂點在線段AB上運動時，形狀保持不變，且與x軸交于C，D兩點（C在D的左側），給出下列結論：①c<3；②當x<-3時，y隨x的增大而增大；③若點D的橫坐標最大值為5，則點C的橫坐標最小值為-5；④當四邊形ACDB為平行四邊形時，a= .其中正確的是（ ）
A.②④
B.②③
C.①③④
D.①②④

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵點A，B的坐標分別為（-2，3）和（1，3），
∴線段AB與y軸的交點坐標為（0，3），
又∵拋物線的頂點在線段AB上運動，拋物線與y軸的交點坐標為（0，c），
∴c≤3，（頂點在y軸上時取“=”），故①錯誤；
∵拋物線的頂點在線段AB上運動，
∴當x＜-2時，y隨x的增大而增大，
因此，當x＜-3時，y隨x的增大而增大，故②正確；
若點D的橫坐標最大值為5，則此時對稱軸為直線x=1，
根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，點C的橫坐標最小值為-2-4=-6，故③錯誤；
令y=0，則ax2+bx+c=0，
CD2=（- ）2-4× = ，
根據(jù)頂點坐標公式， ，
∴ ，
∴CD2= ×（-12）= ，
∵四邊形ACDB為平行四邊形，
∴CD=AB=1-（-2）=3，
∴ =32=9，
解得a= ，故④正確；
綜上所述，正確的結論有②④．
故選：A．

【考點精析】利用二次函數(shù)的性質和平行四邊形的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小；平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分．