Question

【題目】如圖，正方形中，為的中點，的垂直平分線分別交，及的延長線于點，，，連接，，，連接并延長交于點，則下列結論中：①；②；③；④；⑤ ；⑥；⑦．正確的結論的個數為（ ）

A.3B.4C.5D.6

Answer 1

【答案】B

【解析】

①作輔助線，構建三角形全等，證明△ADE≌△GKF，則FG=AE，可得FG=2AO；

②設正方形ABCD的邊長為2x，則AD=AB=2x，DE=EC=x，證明△ADE∽△HOA，得，于是可求BH及HE的值，可作出判斷；

③分別表示出OD、OC，根據勾股定理逆定理可以判斷；

④證明∠HEA=∠AED=∠ODE，OE≠DE，則∠DOE≠∠HEA，OD與HE不平行；
⑤由②可得，根據AR∥CD，得，則；

⑥證明△HAE∽△ODE，可得，等量代換可得OE2=AHDE；

⑦分別計算HC、OG、BH的長，可得結論．

解：①如圖，過G作GK⊥AD于K，

∴∠GKF=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ADE=90°，AD=AB=GK，
∴∠ADE=∠GKF，
∵AE⊥FH，
∴∠AOF=∠OAF+∠AFO=90°，
∵∠OAF+∠AED=90°，
∴∠AFO=∠AED，
∴△ADE≌△GKF，
∴FG=AE，
∵FH是AE的中垂線，
∴AE=2AO，
∴FG=2AO，
故①正確；

②設正方形ABCD的邊長為2x，則AD=AB=2x，DE=EC=x，

，

易得△ADE∽△HOA，

，

，

Rt△AHO中，由勾股定理得：AH= ，

∴BH=AH-AB= ，

∵HE=AH= ，

∴HE=5BH；
故②正確；

③，，

∴，

∴OC與OD不垂直，

故③錯誤；
④∵FH是AE的中垂線，
∴AH=EH，
∴∠HAE=∠HEA，
∵AB∥CD，
∴∠HAE=∠AED，
Rt△ADE中，∵O是AE的中點，
∴OD=AE=OE，
∴∠ODE=∠AED，
∴∠HEA=∠AED=∠ODE，
當∠DOE=∠HEA時，OD∥HE，
但AE＞AD，即AE＞CD，
∴OE＞DE，即∠DOE≠∠HEA，
∴OD與HE不平行，
故④不正確；
⑤由②知BH=，

，

延長CM、BA交于R，

∵RA∥CE，
∴∠ARO=∠ECO，
∵AO=EO，∠ROA=∠COE，
∴△ARO≌△ECO，
∴AR=CE，
∵AR∥CD，

，

故⑤正確；
⑥由①知：∠HAE=∠AEH=∠OED=∠ODE，
∴△HAE∽△ODE，

∵AE=2OE，OD=OE，
∴OE2OE=AHDE，
∴2OE2=AHDE，
故⑥正確；
⑦由②知：HC= ，

∵AE=2AO=OH= ，

tan∠EAD= ，

，

，

∵FG=AE ，

，

∴OG+BH= ，

∴OG+BH≠HC，
故⑦不正確；
綜上所述，本題正確的有；①②⑤⑥，共4個，
故選：B．