Question

【題目】在平面直角坐標系中，正方形的位置如圖所示，點的坐標為，點的坐標為，延長交軸于點，作正方形；延長交軸于點，作正方形；…，按照這樣的規律作正方形，則點的縱坐標為__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

先根據兩對對應角相等的三角形相似，證明△AOD和△A1BA相似，根據相似三角形對應邊成比例可以得到AB=2A1B，所以正方形的邊長等于正方形ABCD邊長的，以此類推，后一個正方形的邊長是前一個正方形的邊長的，即后一個三角形與前一個三角形的相似比為，點B的縱坐標的值為三角形的高，因此B點的縱坐標的值依次增大倍．

解：，∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC，

∴∠ABA1=90°，∠DAO+∠BAA1=90°，

又∵在坐標平面內，∠DAO+∠ADO=90°，

∴∠ADO=∠BAA1，

在△AOD和△A1BA中，

，

∴△AOD∽△A1BA，

∴OD：AO=AB：A1B=2，

∴BC=2A1B，

∴，

過點B作BE⊥x軸，

易證，

∴BE=OA=1，

即B點縱坐標的值為1，

∴縱坐標的值為：，

∴點的縱坐標的值為：．

故答案為：．