Question

【題目】如圖，在銳角三角形ABC中，∠BAC=60°，BF，CE為高，點D為BC的中點，連接EF，ED，FD，有下列四個結論：①ED=FD；②∠ABC=60°時，EF∥BC；③BF=2AF；④AF：AB=AE：AC．其中正確的個數有（　　）

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

Answer 1

【答案】C

【解析】

①由BF、CE為高，D為BC的中點，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可證得FD=ED；

②由兩角對應相等，易證得△AEF∽△ABC，然后由∠BAC=60°與∠ABC=60°，可得△ABC是等邊三角形，則易得∠AEF=∠ABC=60°，即可得EF∥BC；

③根據銳角三角函數的定義，可得③錯誤；

④可證△ABF∽△ACE，可得結論．

①∵BF、CE為高，

∴∠BEC=∠BFC=90°，

∵D為BC的中點，

∴FD=ED，

故①正確；

②∵BF、CE為高，

∴∠BFA=∠CEA=90°，

∵∠A=∠A，

∴△BFA∽△CEA，

∵∠BAC=60°，∠ABC=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴△AEF也是等邊三角形，

∴∠AEF=∠ABC=60°，

∴EF∥BC，

故②正確；

③∵∠ABC=60°，

tan60°=，

∴BF=AF，

故③錯誤；

④∵∠AFB=∠AEC=90°，∠A=∠A，

∴△ABF∽△ACE，

得AF：AB=AE：AC．

故④正確；

本題正確的個數有3個：①②④；

故選C．