Question

【題目】 如圖，圓O是以AB為直徑的△ABC的外接圓，D是劣弧的中點，連AD并延長與過C點的切線交于點P，OD與BC相交于E；

（1）求證：OE=AC；

（2）求證：；

（3）當AC=6，AB=10時，求切線PC的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）PC=15．

【解析】

（1）由于D是的中點，利用垂徑定理的推論，可證OD⊥BC，而AC⊥BC，故OD∥AC，又O是AB中點，利用平行線分線段成比例定理的推論，可得BE:CE=OB:OA，從而可知E是BC中點，即OE是△ABC的中位線，利用三角形中位線定理可證OE=AC；

（2）連接CD，連接CO并延長交圓O于點F，連接DF，先證明∠PCD=∠CAP，再利用兩組角對應相等，證明△PCD∽△PAC，得出，結合CD=BD利用等式性質可證；

（3）連接BD，由AC=6，AB=10，利用勾股定理可求BC，進而求出BE、OE、DE，再利用勾股定理可求BD2、AD2，從而解出AD、BD、CD，結合（2）中的結論，利用比例性質，可求出DP、AP，那么可求CP2，從而求出CP．

（1）證明：∵AB為直徑，

∴∠ACB=90°，

∴AC⊥BC，

又D為中點，

∴OD⊥BC，OD∥AC，

又O為AB中點，

∴E為BC的中點，即OE為△ABC的中位線，

∴；

（2）證明：連接CD，

連接CO并延長交圓O于點F，連接DF，

∵PC為切線，

∴∠PCD+∠DCO==90°，∠DCO+∠F=90°，

∴∠PCD=∠F，又∠F=∠CAP，

∴∠PCD=∠CAP，

又∠P為公共角，

∴△PCD∽△PAC，

∴，

∴

又CD=BD，

∴；

（3）解：連接BD，∵AC=6，AB=10，

∴BC=8，BE=4，OE=3，

∴DE=2，

∴BD2=DE2+BE2=20，∴BD=2，

∴AD2=AB2-BD2=80，∴AD=4，

∴AD=4，

又D為中點，∴CD=BD=2，

由（2），

∴，

由（1）中△PCD∽△PAC得，

∴CP2=DPAP=，

∴PC=15．