Question

【題目】 在△ABC中，∠A＝40°．

（1）如圖(1)BO、CO是△ABC的內角角平分線，且相交于點O，求∠BOC；

（2）如圖(2)若BO、CO是△ABC的外角角平分線，且相交于點O，求∠BOC；

（3）如圖(3)若BO、CO分別是△ABC的一內角和一外角角平分線，且相交于點O，求∠BOC；

（4）根據上述三問的結果，當∠A＝n°時，分別可以得出∠BOC與∠A有怎樣的數量關系(只需寫出結論)．

Answer 1

【答案】（1）110°；（2）70°；（3）20°；（4）分別是90°+ °；90°- °；°

【解析】試題分析：（1）首先根據三角形的內角和定理，求得∠ABC+∠ACB，再根據角平分線的概念，求得∠OBC+∠OCB，最后根據三角形的內角和定理求得∠BOC= 110°；（2）如圖2，根據角平分線的定義和三角形外角的性質得∠DBC=2∠1=∠ACB+∠A，∠ECB=2∠2=∠ABC+∠A，所以2∠1+2∠2=2∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+180°，再由∠1+∠2+∠BOC=180°可得2∠BOC=180°-∠A，即∠BOC=90°- ∠A=90°-20°=70°；（3）如圖3，由BO和CO分別是∠ABC和∠ACD的角平分線，可得∠1= ∠ABC，∠2= ∠ACD，根據三角形外角的性質可得∠ACD=∠A+∠ABC，即可得∠2= （∠A+∠ABC）= ∠A+∠1，再由三角形外角的性質可得∠BOC=∠2﹣∠1= ∠A+∠1﹣∠1= ∠A=×40°=20°；（4）利用以上結論直接得出答案即可.

試題解析：

（1）∵∠A=40°，

∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°．

∵BO、CO分別是∠ABC、∠ACB的角平分線，

∴∠OBC+∠OCB= ∠ABC+∠ACB）=×140°=70°，

∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-70°=110°；

（2）∵BO、CO分別是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的角平分線，

∴∠DBC=2∠1=∠ACB+∠A，

∠ECB=2∠2=∠ABC+∠A，

∴2∠1+2∠2=2∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+180°，

又∵∠1+∠2+∠BOC=180°，

∴2∠BOC=180°-∠A，

∴∠BOC=90°- ∠A=90°-20°=70°．

圖2

（3）如圖3，

∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACD的角平分線，

∴∠1= ∠ABC，∠2= ∠ACD，

又∵∠ACD是△ABC的一外角，

∴∠ACD=∠A+∠ABC，

∴∠2= （∠A+∠ABC）= ∠A+∠1，

∵∠2是△BOC的一外角，

∴∠BOC=∠2﹣∠1= ∠A+∠1﹣∠1= ∠A=×40°=20°．

（4）分別是90°+ °；90°- °；°