Question

如圖，E是矩形ABCE的邊BC上一點，EF⊥AE，EF分別交AC、CD于點M、F，BG⊥AC，垂足為G，BG交AE于點H。

（1）求證：△ABE∽△ECF；
（2）找出與△ABH相似的三角形，并證明；
（3）若E是BC中點，BC=2AB，AB=2，求EM的長。

Answer 1

（1）可證明△ABE中，△ECF∠ABE=∠ECF，∠BAE=∠CEF，所以△ABE∽△ECF
（2）△ABH∽△ECM：由BG⊥AC可得∠ABG+∠BAG=90°，則有∠ABH=∠ECM，又∠BAH=∠CEM。
（3）

試題分析：（1）由四邊形ABCD是矩形，可得∠ABE=∠ECF=90°，由AE⊥EF，∠AEB+∠FEC=90°，可得∠BAE=∠CEF，即可證得△ABE∽△ECF.
（2）由BG⊥AC可得∠ABG+∠BAG=90°，則有∠ABH=∠ECM，又∠BAH=∠CEM，
則可證得△ABH∽△ECM.
（3）作MR⊥BC，垂足為R，由AB=BE=EC=2，

因為AB∥MR。則可證明Rt△ABC∽Rt△MRC。所以CR=2MR
且AB：BC=MR：RC=1：2，且∠AEB=45°，則通過平角性質可得∠MER=90°-∠AEB=45°，從而可得MR=ER=RC=，所以EM=.
點評：本題難度中等，主要考查學生對相似三角形性質與判定知識點的掌握。為中考常考題型，要求學生培養數形結合思想，運用到考試中去。