Question

【題目】（8分）如圖，已知直線y=x+k和雙曲線y=（k為正整數(shù)）交于A，B兩點(diǎn)．

（1）當(dāng)k=1時(shí)，求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)k=2時(shí)，求△AOB的面積；

（3）當(dāng)k=1時(shí)，△OAB的面積記為S1，當(dāng)k=2時(shí)，△OAB的面積記為S2，…，依此類推，當(dāng)k=n時(shí)，△OAB的面積記為Sn，若S1+S2+…+Sn=，求n的值．

Answer 1

【答案】（1）A（1，2），B（﹣2，﹣1）；（2）4；（3）6.

【解析】試題分析：（1）由k=1得到直線和雙曲線的解析式，組成方程組，求出方程組的解，即可得到A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）先由k=2得到直線和雙曲線的解析式，組成方程組，求出方程組的解，即可得到A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；再求出直線AB的解析式，得到直線AB與y軸的交點(diǎn)（0，2），利用三角形的面積公式，即可解答．（3）根據(jù)當(dāng)k=1時(shí)，S1=×1×（1+2）=，當(dāng)k=2時(shí)，S2=×2×（1+3）=4，…得到當(dāng)k=n時(shí)，Sn=n（1+n+1）=n2+n，根據(jù)若S1+S2+…+Sn=，列出等式，即可解答．

試題解析：（1）當(dāng)k=1時(shí),直線y=x+k和雙曲線化為：y=x+1和y= ，

解得， ，

∴A(1,2),B(2,1)，

(2)當(dāng)k=2時(shí),直線y=x+k和雙曲線化為：y=x+2和y=，

解得， ，

∴A(1,3),B(3,1)

設(shè)直線AB的解析式為：y=mx+n，

∴，

∴，

∴直線AB的解析式為：y=x+2

∴直線AB與y軸的交點(diǎn)(0,2)，

∴S△AOB=×2×1+×2×3=4；

(3)當(dāng)k=1時(shí),S1=×1×(1+2)= ，

當(dāng)k=2時(shí),S2=×2×(1+3)=4，

…

當(dāng)k=n時(shí),Sn=n(1+n+1)= n2+n，

∵S1+S2+…+Sn=，

∴×(12+22+32+…+n2)+(1+2+3+…n)= ，

整理得： ×n(n+1)(2n+1)6+n(n+1)2=，

解得：n=6.