Question

【題目】（2017湖南省益陽(yáng)市）在平面直角坐標(biāo)系中，將一點(diǎn)（橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)不相等）的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互換后得到的點(diǎn)叫這一點(diǎn)的“互換點(diǎn)”，如（﹣3，5）與（5，﹣3）是一對(duì)“互換點(diǎn)”．

（1）任意一對(duì)“互換點(diǎn)”能否都在一個(gè)反比例函數(shù)的圖象上？為什么？

（2）M、N是一對(duì)“互換點(diǎn)”，若點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，n），求直線MN的表達(dá)式（用含m、n的代數(shù)式表示）；

（3）在拋物線的圖象上有一對(duì)“互換點(diǎn)”A、B，其中點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（，），求此拋物線的表達(dá)式．

Answer 1

【答案】（1）不一定；（2）y=﹣x+m+n；（3）．

【解析】試題分析：（1）設(shè)這一對(duì)“互換點(diǎn)”的坐標(biāo)為（a，b）和（b，a）．①當(dāng)ab=0時(shí)，它們不可能在反比例函數(shù)的圖象上，②當(dāng)ab≠0時(shí)，由b=可得a=，于是得到結(jié)論；

（2）把M（m，n），N（n，m）代入y=cx+d，即可得到結(jié)論；

（3）設(shè)點(diǎn)A（p，q），則q=，由直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（，），得到p+q=1，得到q=﹣1或q=2，將這一對(duì)“互換點(diǎn)”代入，于是得到結(jié)論．

試題解析：解：（1）不一定，設(shè)這一對(duì)“互換點(diǎn)”的坐標(biāo)為（a，b）和（b，a）．

①當(dāng)ab=0時(shí)，它們不可能在反比例函數(shù)的圖象上，②當(dāng)ab≠0時(shí)，由b=可得a=，即（a，b）和（b，a）都在反比例函數(shù)（k≠0）的圖象上；

（2）由M（m，n）得N（n，m），設(shè)直線MN的表達(dá)式為y=cx+d（c≠0）．

則有： ，解得：，∴直線MN的表達(dá)式為y=﹣x+m+n；

（3）設(shè)點(diǎn)A（p，q），則q=，∵直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（，），由（2）得：，∴p+q=1，∴，解并檢驗(yàn)得：p=2或p=﹣1，∴q=﹣1或q=2，∴這一對(duì)“互換點(diǎn)”是（2，﹣1）和（﹣1，2），將這一對(duì)“互換點(diǎn)”代入得，∴，解得：，∴此拋物線的表達(dá)式為．