Question

【題目】如圖，已知拋物線y=-x2+bx+c與直線y=-x的交點A、B的橫坐標分別為2和．點P是直線上方拋物線上的一動點，過點P作PD⊥AB于點D，作PE⊥x軸交AB于點E．

（1）直接寫出點A、B的坐標；

（2）求拋物線的關系式；

（3）判斷△OBC形狀，并說明理由；

（4）設點P的橫坐標為n，線段PD的長為y，求y關于n的函數關系式；

（5）定義符號min{a，b）}的含義為：當a≥b時，min{a，b}=b；當a＜b時，min{a，b}=a．如min{2，0}=0，min{-3，4}=-3．直接寫出min{-x2+bx+c，-x}的最大值．

Answer 1

【答案】（1）A（2-2），點B（-，）；（2）y=-x2+x+1；（3）△OBC是等腰直角三角形．理由見解析；（4）y=-n2+n+；（5）min{-x2+x+1，-x}最大值為.

【解析】

（1）A、B的橫坐標分別為2和-，代入解析式y=-x可得點A，點B的坐標；
（2）用待定系數法可求解析式；
（3）由根據兩點距離公式可求OB，OC，BC的長度，可得BC=OB，根據勾股定理逆定理可判斷∠OBC=90°，即可求△OBC形狀；
（4）由點P的橫坐標為n，可求PE=-n2+n+1，根據題意可求∠BOC=45°=∠PED，根據勾股定理可求PD=y=PE，即可求y關于n的函數關系式；
（5）分①-x2+x+1≥-x時，②-x2+x+1＜-x時，兩種情況討論，可求min{-x2+x+1，-x}最大值．

（1）∵A、B的橫坐標分別為2和，且點A，點B在直線y=-x上，

∴A（2-2），點B（-，），

（2）∵拋物線y=-x2+bx+c經過點A，點B，

∴，

解得：b=，c=1，

∴拋物線解析式y=-x2+x+1，

（3）△OBC是等腰直角三角形．

理由如下：∵拋物線y=-x2+x+1與y軸交于點C，

∴當x=0時，則y=1，

即點C坐標（0，1），

又∵點O（0，0），點B（-，），

∴OC=1，

OB==，

BC==，

∴OB=BC，

∵OB2+BC2=1，OC2=1，

∴OB2+BC2=OC2．

∴∠CBO=90°.

∴△OBC是等腰直角三角形．

（4）∵點P的橫坐標為n，

∴點P（n，-n2+n+1），點E的坐標（n，-n），

∴PE=-n2+n+1-（-n）=-n2+n+1，

∵直線y=-x與x軸所成銳角為45°，

∴∠BOC=45°，

∵PE∥y軸，

∴∠PED=∠BOC=45°，且PD⊥AB，

∴PE=PD，

∴y=PE=（-n2+n+1）=-n2+n+，

（5），

①-x2+x+1≥-x時，min{-x2+x+1，-x}=-x，

即-x2+x+1≥-x，

解得：-≤x≤2，

∴-2≤min{-x2+x+1，-x}≤，

②-x2+x+1＜-x時，min{-x2+x+1，-x}=-x2+x+1，

即-x2+x+1＜-x，

解得：x＜-和x＞2，

當x＜-時，min{-x2+x+1，-x}＜，

當x＞2時，min{-x2+x+1，-x}＜-2，

綜上所述：min{-x2+x+1，-x}最大值為.