Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，∠BAD的角平分線AE交CD于點F，交BC的延長線于點E．

（1）求證：BE=CD；

（2）連接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四邊形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）由平行四邊形的性質和角平分線易證∠BAE=∠BEA，根據等腰三角形的性質可得AB=BE；（2）易證△ABE是等邊三角形，根據等邊三角形的性質可得AE=AB=4，AF=EF=2，由勾股定理求出BF，再由AAS證明△ADF≌△ECF，即△ADF的面積=△ECF的面積，因此平行四邊形ABCD的面積=△ABE的面積=AEBF，即可得出結果．

試題解析：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，

∴∠B+∠C=180°，∠AEB=∠DAE，

∵AE是∠BAD的平分線，

∴∠BAE=∠DAE，

∴∠BAE=∠AEB，

∴AB=BE，∴BE=CD；

（2）解：∵AB=BE，∠BEA=60°，

∴△ABE是等邊三角形，

∴AE=AB=4，

∵BF⊥AE，

∴AF=EF=2，

∴BF=，

∵AD∥BC，

∴∠D=∠ECF，∠DAF=∠E，

在△ADF和△ECF中，

，

∴△ADF≌△ECF（AAS），

∴△ADF的面積=△ECF的面積，

∴平行四邊形ABCD的面積=△ABE的面積=AEBF=×4×2=4．