Question

【題目】如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓O上的一點，BD與過點C的直線互相垂直，垂足為點D，BD與半圓O交于點E，且BC平分∠DBA．

（1）求證：CD是半圓O的切線．

（2）若DC=8，BE=4，求圓的直徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）4．

【解析】

試題分析：（1）首先連接OC，由OB=OC，BC平分∠DBA，易證得OC∥BD，又由BD⊥CD，即可證得結論；

（2）首先根據切割線定理求得BD，然后根據勾股定理求得BC，連接AC，通過證得△ABC∽△CBD，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得AB．

（1）證明：連接OC，

∵OB=OC，

∴∠1=∠2，

∵BC平分∠DBA，

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠3，

∴OC∥BD，

∵BD⊥CD，

∴OC⊥CD，

∵C是半圓O上的一點，

∴CD與半圓O相切；

（2）連接AC，

∵CD是切線，

∴CD2=DEBD，

∵DC=8，BE=4，

設BD=x，則82=x（x﹣4），

解得x=2+2，

∴BD=2，

∵∠BDC=90°，

∴BC2=CD2+BD2=64+（2+2）2，

∵AB是直徑，

∴∠ACB=90°=∠BDC，

∵∠BDC=∠ABC，

∴△CDB∽△ACB，

∴，

∴AB==4．